Was haben Aluminiumstäbe, Klippenspringer, Kugeln (wie die Erde), leuchtende Sterne, elektrische Felder, Gravitation und die Atmosphäre gemeinsam?[br][br]Richtig! Bei ihrer physikalischen Beschreibung trifft man auf funktionelle Zusammenhänge der Form:[br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^n[/math]

[u][b]Aluminiumstab[/b][/u][br]Die [b]Masse [/b]eines Aluminiumstabs ist [b]proportional [/b]zu dessen [b]Volumen[/b]; der Proportionalitätsfaktor [math]\rho[/math] ist die [b]Dichte [/b]in kg/m³.[br][color=#0000ff]→ Ein doppelt so langer Stab ist doppelt so schwer.[/color][br][br][u][b]Klippensprung[/b][/u][br]Ein Klippensprung kann näherungsweise mit dem Modell "[b]freier Fall[/b]" beschrieben werden. Die zurückgelegte [b]Fallstrecke [/b]ist proportional zum [b]Quadrat der Fallzeit[/b]; der Proportionalitätsfaktor ist die Hälfte der Erdbeschleunigung.[br][color=#0000ff]→ Nach der doppelten Fallzeit ist der Springer viermal so tief gefallen.[/color][br][br][u][b]Kugel[/b][/u][br]Das [b]Volumen [/b]einer Kugel hängt von der [b]dritten Potenz ihres Radius[/b] ab; der Vorfaktor ist laut Formelsammlung [math]\frac{4}{3}\pi[/math].[br][color=#0000ff]→ Eine Kugel mit doppeltem Radius hat das achtfache Volumen.[/color][br][br][u][b]Stern[/b][/u][br]Die [b]Strahlungsleistung [/b]eines Sterns ist proportional zur [b]vierten Potenz seiner Temperatur[/b]; es gehen nur noch die Oberfläche [i]A[/i] und die Strahlungskonstante [math]\sigma[/math] ein.[br][color=#0000ff]→ Ein doppelt so heißer Stern strahlt 16 mal so viel Energie pro Sekunde ab.[/color][br][br][u][b]Elektrisches Feld[/b][/u][br]Das [b]elektrische Potential [/b]im Umfeld einer elektrischen [b]Punktladung [/b](näherungsweise eine kleine geladene Kugel) ist [b]antiproportional zum Abstand[/b] von der Punktladung. Neben physikalischen und mathematischen Konstanten spielt nur noch die Ladung [i]Q[/i] eine Rolle.[br][color=#0000ff]→ Geht man doppelt so weit weg von der Kugel, ist das elektrische Potential (und damit die Spannung zwischen Kugel und dem eigenen Ort) nur noch halb so groß.[/color][br][br][u][b]Gravitation[/b][/u][br]Die gravitative [b]Kraft [/b]zwischen zwei Körpern ist [b]antiproportional zum Quadrat des Abstands[/b] zwischen den beiden Körpern - das ist das sogenannte [b]Abstandsquadratsgesetz[/b]. Neben der Gravitationskonstante gehen nur noch die beiden Massen ein.[br][b]→ Befindet man sich statt auf der Erdoberfläche (d.h. in 6371 km Entfernung vom Erdmittelpunkt) doppelt so weit vom Erdmittelpunkt entfernt (d.h. 6371 km über der Erdoberfläche), so ist die Erdanziehung nur noch ein Viertel mal so stark.[/b][br][br][u][b]Atmosphäre[/b][/u][br]Dehnt sich ein [b]Gas [/b](z.B. feuchte, warme Luft in unserer Atmosphäre) [b]adiabatisch [/b]aus, d.h. ohne dass das Gas dabei nennenswert Energie an die Umgebung abgeben kann (z.B. bei relativ rascher Wolkenbildung), so hängt der [b]Druck [/b]vom [b]Volumen [/b]ab, und zwar als [b]Potenz mit nicht-ganzzahligem Exponenten [/b][math]-\frac{5}{3}[/math].[br][color=#0000ff]→ Eine Verachtfachung des Volumens würde zu einem Druckabfall auf ein Zweiundreißigstel des Ausgangsdrucks führen.[/color]

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung man in folgender Form schreiben kann:[br][br][math]f\left(x\right)=a\cdot x^r[/math][br]mit den reellen, von Null verschiedenen Parametern [math]a,r\in\mathbb{R}^{\text{*}}[/math][br][br]Ist der [b]Exponent [/b][i]r[/i] [b]größer als 1[/b] und [b]ganzzahlig[/b], so heißt der Funktionsgraph [b]Parabel r-ter Ordnung[/b].[br][br]Ist der [b]Exponent [/b][i]r[/i] [b]negativ [/b]und [b]ganzzahlig[/b], so nennt man den Graphen [b]Hyperbel r-ter Ordnung[/b].