Teorema: "In un triangolo, ad angolo maggiore è opposto lato maggiore". [br]Hp: 1) [math]B \hat{A}C >A \hat{B}C[/math] [br]Th: [math]\overline{BC}>\overline{AC}[/math][br]Dim: [b]Passo 1[/b]: sia [math]ABC[/math] un triangolo nel quale [math]B \hat{A}C >A \hat{B}C[/math]. [b]Passo 2: [/b]Supponiamo, per assurdo, che [math]\overline{AC}>\overline{BC}[/math], allora sulla semiretta [math]CB[/math], ci sarà, oltre [math]B[/math], un punto [math]D[/math], tale che [math]\overline{CD}\cong\overline{AC}[/math]. [b]Passo 3:[/b] Il triangolo [math]ADC[/math] è isoscele. Inoltre, dato che [math]D[/math] è esterno al triangolo, [math]C \hat{A}D>B \hat{A}C[/math][b](2)[/b]. [b]Passo 4:[/b] Per il teorema diretto del triangolo isoscele: [math]A \hat{D}C \cong C \hat{A}D[/math] [b](3)[/b]. L'angolo [math]A \hat{B}C[/math] è esterno rispetto al triangolo [math]ABD[/math], quindi, per il teorema dell'angolo esterno maggiore, [math]A \hat{B}C>A \hat{D}C[/math]. Quindi, per (3), [math]A \hat{B}C>C \hat{A}D[/math] e per (2) [math]A \hat{B}C>B \hat{A}C[/math] contro l'ipotesi (1).[br]Se invece, sempre per assurdo, fosse [math]\overline{AC}=\overline{BC}[/math], allora il triangolo sarebbe isoscele e, per il teorema inverso del triangolo isoscele si avrebbe: [math]A \hat{B}C=B \hat{A}C[/math] sempre contrario all'ipotesi (1).