[url=https://mategnu.de/m/2/rp2.pdf][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/reihenuebersicht/m2ph4.jpg[/img][/url][br][br][color=#FFA252][b][size=150]Leitfrage zu Phase 4[/size][br][/b][/color]Wie kann ich den Bestand einer nicht linearen Änderungsratenfunktion nach oben und unten [b]abschätzen[/b]?

[size=150][b][color=#FFA252]Wassermenge durch Rechteckstreifen abschätzen[/color][/b][/size][br]Ausgehend von dem aus Phase 3 bekannten Funktionsgraphen, nähern die SuS im Arbeitsblatt [br][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/tkagafqk][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][color=#095EBC][b]M5.II.4a AB Wassermenge als Rechteckstreifen[/b][/color][/url] [br]die Wassermenge, indem sie die Zuflussrate in jedem Teilintervall als [b]konstant[/b] annehmen. [br]Für die Fläche unter dem Graphen bedeutet dies, dass sie diese mithilfe von Rechteckstreifen nähern. [br]Die [b]Höhe der Rechtecke[/b] ist dabei die [b]konstante Zuflussrate[/b] im Teilintervall und wird deshalb Rechteck für Rechteck durch die SuS festgelegt.[br][br]Zentral ist die Frage, ob die Wassermenge (der Flächeninhalt unter der Kurve) mit der Näherung über- oder unterschätzt wird. Die SuS berechnen sowohl einen über- als auch einen unterschätzenden Wert. In einem sich anschließenden Unterrichtsgespräch sollte unbedingt die Höhe der Rechteckstreifen diskutiert werden.[br][br]Die Suche nach einem systematischen Vorgehen, um die Wassermenge, bzw. die Fläche - wie beim Gepard die Momentangeschwindigkeit - nach [b]oben [/b]und [b]unten [/b]abzuschätzen, führt auf das Maximum und Minimum [size=85](genauer Supremum und Infimum)[/size] der Zuflussratenfunktion im Intervall und damit zu einer Definition der Ober- und Untersumme:

[b][color=#FFA252]Obersumme[/color][/b][br]Die Höhe der Rechtecke entspricht dem [b]maximalen[/b] Funktionswert [math]M_{i}[/math] im Teilintervall. [br]Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite [math](x_i -x_{i-1})[/math] mit der jeweiligen Höhe [math]M_i[/math] (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:[br][math]O_{s} = (x_1-x_0)\cdot M_1 + (x_2-x_1) \cdot M_2 + ... [/math][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_obersumme_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_obersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url][br]Im Beispiel:[br][math]O_{s} = (1-0)\cdot f(1) + (2-1) \cdot f(2) + ... + (5-4) \cdot f(5) + (6-5) \cdot f(5) + ... [/math]

[b][color=#FFA252]Untersumme[/color][/b][br]Die Höhe der Rechtecke entspricht dem [b]minimalen[/b] Funktionswert [math]m_{i}[/math] im Teilintervall. [br]Für die Berechnung der Obersumme multipliziert man die Rechteckbreite [math](x_i -x_{i-1})[/math] mit der jeweiligen Höhe [math]m_i[/math] (diese kann auch negativ sein!) und addiert die orientierten Flächeninhalte aller Rechtecke:[br][math]U_{s} = (x_1-x_0)\cdot m_1 + (x_2-x_1) \cdot m_2 + ... [/math][br][br][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_untersumme_klein.jpg[/img][url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/app_rechteckstreifen_untersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][br][/url]Im Beispiel:[br][math]U_{s} = (1-0)\cdot f(0) + (2-1) \cdot f(1) + ... + (5-4) \cdot f(4) + (6-5) \cdot f(6) + ... [/math]

Ergänzend kann mit dem Applet [br][color=#095EBC][url=https://www.geogebra.org/m/nxxgghx3#material/egkpafcb][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lernumgebung_30.jpg[/img][b]M2.II.4b App Ober- und Untersumme[/b][/url][/color] [br]eine formale Definition erarbeitet werden:[br][br][url=https://juergen-roth.de/vortraege_material/2025/MaTeGnu_K1_M2_Integralrechnung.pdf#page=22][img]https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_ober_und_untersumme_klein.jpg[/img][/url] [url=https://mategnu.de/bilder/modul_2/folien/definition_ober_und_untersumme.jpg][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Lupe_30.jpg[/img][/url]

[size=150][b][color=#FFA252]GeoGebra als Werkzeug[/color][/b][/size][br]An dieser Stelle im Unterrichtsverlauf können die GeoGebra-Befehle [code]Obersumme()[/code] und [code]Untersumme()[/code] eingeführt werden.[br][img]https://mategnu.de/bilder/icons/Werkzeug_30.jpg[/img][color=#095EBC][url=https://mategnu.de/m/2/GGB_Befehle_m2.pdf]GeoGebra-Befehlsliste Modul 2[/url][/color] [br][br]Die beiden Befehle sind optional. Sie können von den SuS leicht selbstständig erarbeitet, indem die SuS den Befehl [code]Obersumme[/code] bzw. [code]Untersumme[/code] in das Eingabefeld des Grafikrechners eintippen und mithilfe der erscheinenden Befehlsoptionen entsprechende Werte in den Klammern ergänzen.

[color=#FFA252][b][size=150]Zeitbedarf[/size][br][/b][/color]2h + Übung

[color=#FFA252][b][size=150]Übungsaufgaben[/size][br][/b][/color][url=https://o-mathe.de]o-mathe.de[/url] [math] \rightarrow [/math] Integralrechnung [math] \rightarrow [/math] Integral [math] \rightarrow [/math] Produktsummen [math] \rightarrow [/math] Übungen [math] \rightarrow [/math] Aufgabe 2[br][br]Fundamente, RLP, LK (2023, Band 1): S. 186/187[br]Fundamente, RLP, GK (2023, Band 1): S. 170/171 [br][br]Elemente der Mathematik, RLP, LK (2017): S. 205, Nr. 1/ S. 206 Nr. 2[br]Elemente der Mathematik, RLP, GK (2017): S. 164 Nr. 1[br][br]Übung:[br]Bestimme die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x[sup]2[/sup] und der x-Achse im Intervall [0; 4] näherungsweise, indem Sie [br]a) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen. [br]b) die Obersumme/ Untersumme bestehend aus 8 Teilintervallen berechnen. [br]c) Überprüfen sie Ihre Ergebnisse mithilfe von GeoGebra.[br][br]bettermarks: "Stammfunktionen und Integrale" [math] \rightarrow [/math] Kap. 1 Flächeninhalte unter einer Kurve [math] \rightarrow [/math] Serie 1.3 Flächeninhalte unter einer Kurve mit Hilfe ihrer Ober- und Untersumme bestimmen