COSA É UNA FUNZIONE COMPOSTA Una funzione composta è una funzione che ha come valore di input non la variabile indipendente , bensì il risultato di un'altra funzione. Ad esempio può essere vista come una funzione composta, perché abbiamo una funzione seno che prende come input non bensì una funzione di , ed in particolare . Definiamo in questo caso come Funzione Argomento, in quanto il suo risultato è l'argomento (l'input) dell'altra funzione, nel nostro esempio il logaritmo naturale, che chiamiamo Funzione Principale. ATTENZIONE: questi due nomi NON sono ufficiali e sono stati inventati in questo sito per avere dei riferimenti con cui capirsi Possiamo mettere in evidenza le due funzioni e la loro composizione utilizzando dei colori, riscrivendo la funzione originale come Una rappresentazione ancora più efficace è quella a diagramma, in cui si vede che le due funzioni (nel nostro caso il polinomio ed il logaritmo) si combinano, si concatenano, per generare il risultato finale.

Il nostro obiettivo è: SAPENDO che una determinata funzione è la composizione di due funzioni note, ed in particolare di due funzioni di cui sappiamo calcolare la derivata, possiamo creare una regola che ci permetta di ottenere la derivata della funzione di partenza combinando in qualche modo le derivate che conosciamo già? VERSO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE COMPOSTA Il ragionamento che ci permetterà di farlo si basa profondamente sulla natura ed il significato della derivata come limite del rapporto incrementale Abbiamo sottolineato il "SUO" perché se vogliamo riutilizzare le derivate delle due funzioni che sono concatenate in una funzione composta dobbiamo accorgerci che la funzione Argomento prende come input la variabile come al solito, ma la funzione Principale ha come proprio input non bensì il corrispondente risultato della funzione argomento, cioè . Di conseguenza per ottenere il SUO rapporto incrementale dovremo far comparire la variazione di QUESTO risultato. Lo vediamo nel seguente video, dove si ribadisce il concetto di funzione composta e si sviluppa il ragionamento qui accennato.

Qui sotto trovi un'animazione 3D che mostra dal punto di vista grafico la concatenazione che porta al risultato di una funzione composta. Ruota la visuale 3D per vedere i singoli passaggi. Attivando il cursore s vedrai le corrispondenti variazioni degli input e dei risultati delle singole componenti.

La rappresentazione tridimensionale sopra dovrebbe mettere in evidenza che il risultato finale può essere visto come concatenazione di due passaggi:

1. l'input (punto ) viene dato in pasto alla funzione Argomento (parabola in rosso su piano orizzontale) e genera il corrispondente risultato (punto )
2. tale risultato funge da input per la funzione Principale (esponenziale nero sul piano che va "in profondità") e genera il risultato finale (punto )
3. riportando il risultato finale sul piano iniziale (quello "di fronte"), otteniamo il punto ed otteniamo la rappresentazione della funzione complessiva, per la quale all'input corrisponde il risultato

Se attivi il cursore s vedi anche LA COSTRUZIONE DEL RAPPORTO INCREMENTALE della funzione, che si scompone

1. nel rapporto incrementale della funzione Argomento rossa, che come variazione di input ha effettivamente quella tra le originali (punti verdi: da fino ad )
2. nel rapporto della funzione Principale esponenziale nera, che come variazione di input però non ha quella tra le bensì quella tra i corrispondenti risultati della funzione argomento (punti rossi: da fino ad )

Questo è l'aspetto che giustifica la "scomposizione" della derivata di nella concatenazione di quella della funzione Principale e della funzione Argomento . Scriviamo la derivata di in un certo punto attraverso la sua definizione, e poi mettiamo in evidenza il fatto che è una funzione composta: Visto che la variazione tra gli input della funzione principale è , moltiplichiamo e dividiamo per questa differenza in modo da fornire a P il SUO : A questo punto vediamo che la seconda frazione è esattamente il rapporto incrementale della funzione Argomento calcolato nel valore di input iniziale , mentre la prima frazione è il rapporto incrementale della funzione Principale calcolato nel SUO valore iniziale di input, cioè . Poiché stiamo facendo il limite di entrambi i rapporti per e quindi entrambe la variazioni di input tenderanno a 0, otteniamo il prodotto delle corrispondenti derivate: Se sostituiamo le funzioni di esempio dell'animazione la funzione argomento è , quindi

• il suo valore iniziale è
• la sua derivata nel punto è

La funzione principale è , la cui derivata è di nuovo , che nel punto iniziale del suo argomento vale

La derivata completa si ottiene quindi moltiplicando la derivata della funzione principale fatta rispetto al suo argomento (che quindi viene "congelato" rispetto ad ) per la derivata della funzione argomento

ESEMPI SVOLTI 1) Svolgi la derivata di Riconosciamo innanzitutto che possiamo vedere la funzione come una funzione composta, con funzione principale il logaritmo naturale e come suo argomento la funzione argomento Applichiamo quindi la regola che abbiamo appena ottenuto: deriviamo innanzitutto la funzione principale rispetto al suo argomento (la derivata del logaritmo naturale è il reciproco del suo argomento) e moltiplichiamo per la derivata dell'argomento. 2) Svolgi la derivata di Riconosciamo innanzitutto che possiamo vedere la funzione come una funzione composta, con funzione principale la radice quarta e come suo argomento la funzione argomento Applichiamo quindi la regola che abbiamo appena ottenuto: deriviamo innanzitutto la funzione principale rispetto al suo argomento (la radice è una potenza, e la derivata di una potenza è una potenza con la sua stessa base/argomento moltiplicata per l'esponente originale) e moltiplichiamo per la derivata dell'argomento. NOTA: le funzioni composte più insidiose da riconoscere sono forse quelle il cui argomento è molto semplice, che ce le fa confondere con delle funzioni semplici. Ricordiamo che è composta qualsiasi funzione il cui argomento non è bensì una qualsiasi espressione di . A questo proposito vediamo il seguente esempio. 3) Svolgi la derivata di Riconosciamo innanzitutto che possiamo vedere la funzione come una funzione composta, con funzione principale un esponenziale e come suo argomento la funzione argomento [La parentesi è stata aggiunta solo per mettere in evidenza la distinzione tra funzione principale e funzione argomento] Applichiamo quindi la regola che abbiamo appena ottenuto: deriviamo innanzitutto la funzione principale rispetto al suo argomento (la derivata di un esponenziale naturale è un'esponenziale identico del suo stesso argomento) e moltiplichiamo per la derivata dell'argomento.