Seja f : Dom(f) ⊆ R[sup]n[/sup]→ R uma função de classe C[sub]m[/sub] em A(aberto) ⊆ Dom(f), para algum m ≥ 1, e seja X[sub]m[/sub] = (x[sub]10[/sub], . . . , x[sub]10[/sub]) ∈ A.Dado X = (x[sub]0[/sub], . . . , x[sub]n[/sub]) ∈ R[sup]n[/sup],o polinômio P[sub]m[/sub] : R[sup]n[/sup] → R definido como:[br][math]P_m(X) : R^n → R=f(X_0) +\sum_{k=1}^{m}{ [((x_1 − x_{10})\frac{∂}{∂x_1}+...+(x_n-x_{n0})\frac{∂}{∂x_{n0}})^kf]}(X_0) ∀X ∈ Rn[/math] [br]é chamado de polinômio de Taylor de ordem m de f em X[sub]0[/sub].

[math]\shadowbox{P(x,y) : R^2 → R=f(x,y) +\sum_{k=1}^{m}{ [((x − x_{0})\frac{∂}{∂x}+(y-y_{0}\frac{∂}{∂y}))^kf]}(x,y)  ∀(x,y) ∈ R^2}[/math]

supondo uma função F : Dom(F) ⊆ R[sup]n+m[/sup] → R[sup]m[/sup];(X, Y ) = (x[sub]1[/sub], ..., x[sub]n[/sub], y[sub]1[/sub], ..., y[sub]m[/sub]) → F(X, Y ) = F(x[sub]1[/sub], ..., x[sub]n[/sub], y[sub]1[/sub], ..., y[sub]m[/sub])[br]dizemos que a função g : Dom(g) ⊆ R[sup]n[/sup] → R[sup]m[/sup] está definida implicitamente na equação F(X, Y ) = k,se F(X, g(X)) = k, para todo X ∈ Dom(g).