[table][tr][td][url=https://www.geogebra.org/m/nzfg796n#material/dtzrwbeb][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACUAAAA2CAYAAABA3FA2AAAAAXNSR0IArs4c6QAAAARnQU1BAACxjwv8YQUAAAAJcEhZcwAADsQAAA7EAZUrDhsAAACpSURBVGhD7dkxCsJAFEXR/wZiJWJhIW7MUnApriwLEFdhZy0iiN8M2tjdLr94h8wEUt3yQaRhyMiMiH7mpulRv0vU/Gm/dymOohxFOYpyFOUoylGUoygdd9tye0qv1upFTUVenoSjKEdRjqIcRTmKchTlKErX/abgyLvUG3nKs5cn4ijKUZSjKEdRjqIcRRWN6j9six2dxkMu9YiV7t+Ps8l45iJu73V8AE/fHKUjFbbZAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/url][/td][td][size=50] this activity is a page of [color=#980000][i][b]geogebra-book[/b][/i][/color][br] [url=https://www.geogebra.org/m/y9cj4aqt][color=#0000ff][u][i][b]elliptic functions & bicircular quartics & . . .[/b][/i][/u][/color][/url]([color=#ff7700][i][b]27.04.2023[/b][/i][/color])[/size][/td][/tr][/table][size=85][i][color=#ff00ff][right]translation is in progress[/right][/color][/i][/size]

[size=85]Im Applet oben ist eine [b]2-[/b]teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartik[/color][/i][/b] mit der Gleichung in Normalform[br] [math]\left(x^2+y^2\right)-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2+1=0[/math], [math]A_x,B_y\in\mathbb{R}[/math][br]vorgegeben: die gestrichelte Kurve.[br]Die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#00ff00]f[/color][/b], -[b][color=#00ff00]f[/color][/b], 1/[b][color=#00ff00]f[/color][/b], -1/[b][color=#00ff00]f[/color][/b], berechnet mit Hilfe von [b][size=100](*)[/size][/b] [math]Q=\frac{1-A_x\cdot B_y}{A_x-B_y}[/math],[br][/size][list][*][math]f=\sqrt{Q+\sqrt{Q^2-1+0\cdot i}}[/math][br][/*][/list][size=85]In [b][color=#980000]geogebra[/color][/b] wird durch den "Trick" [math]+0\cdot i[/math] die [b][i][color=#38761d]Wurzelfunktion[/color][/i][/b] komplex berechnet! Dies hat die überraschende Folge, dass[br]die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auch dann komplex berechnet werden, wenn sie auf der [math]y[/math]-Achse oder auf dem [b][i][color=#b45f06]Einheitkreis[/color][/i][/b] liegen![br][br][b][i][u][color=#cc0000]Warum[/color][/u][/i][/b] "[b][i][color=#00ff00][size=100]Brennpunkte[/size][/color][/i][/b]" [color=#cc0000][b][i]?[/i][/b][/color][br]Im Falle [b][i][color=#ff0000]konzyklischer[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] kann man diese [b][color=#cc0000]4[/color][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] auf [b][color=#cc0000]3[/color][/b] verschiedene Weisen aufteilen in die [br][b][i][color=#ff0000]Grund-Punkte-Paare[/color][/i][/b] von je [b][color=#cc0000]2[/color][/b] verschiedenen [b][color=#ff0000]elliptischen Kreisbüscheln[/color][/b]. Durch jeden [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] einer solchen [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartik[/color][/i][/b][br]geht aus jedem der [b][i][color=#cc0000]2[/color][/i][/b] Kreisbüschel je [b][color=#cc0000]1[/color][/b] [b][i][color=#ff0000]Kreis[/color][/i][/b]. Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b] ist [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] dieser beiden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b].[br]Man könnte es auch [b][i][color=#ff00ff]dynamisch [/color][/i][/b]beschreiben: die sich[b][i][color=#9900ff] wellenförmig[/color][/i][/b] ausbreitenden [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] des einen [b][i][color=#ff0000]Büschels[/color][/i][/b] werden an[br]der [b][i][color=#ff7700]Quartik [/color][/i][/b]reflektiert in die [b][i][color=#ff0000]Kreise[/color][/i][/b] des anderen [b][i][color=#ff0000]Büschels[/color][/i][/b].[br][br][br]Da für [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] [b][color=#38761d]fix[/color][/b] sind, und damit [math]Q[/math] konstant ist, kann man aus der Formel [b](*)[/b][/size][br][size=85][b][u][color=#cc0000]1.[/color][/u][/b] zu vorgegebenem [/size][math]B'_y[/math] [size=85]das zugehörige[/size] [math]A'_x[/math] [size=85]berechnen[/size][br][size=85][b][u][color=#cc0000]2.[/color][/u][/b] zu vorgegebenem [b][i][color=#ff0000]Punkt[/color][/i][/b] [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b] die beiden [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]bizirkularen Quartiken[/color][/i][/b] durch [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b] aus der [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] Schar berechnen.[/size][br][br][size=85]Der hierzu passende [b]Kalkül[/b]? Das Lösen quadratischer Gleichungen![/size] [size=50](Ein Schulmeister würde vielleicht sagen: [b]p-q-Formel![/b])[br][/size][size=85]Das [b][i][color=#00ffff]Vektorfeld[/color][/i][/b] ergibt sich aus der [b][i][color=#9900ff]elliptischen Differentialgleichung[/color][/i][/b] [math]\left(g'\right)^2=\left(g^2-f^2\right)\left(g^2-\frac{1}{f^2}\right)[/math].[br]Da die komplexe [/size][size=85][b][i][color=#38761d]Wurzelfunktion[/color][/i][/b][/size][size=85] im Spiel ist, wechselt das [b][i][color=#00ffff]Feld[/color][/i][/b] an manchen Stellen abrupt die Richtung.[br][br]Die Konstruktion [b][i][color=#999999]doppelt-berührender Kreise[/color][/i][/b] für die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] soll verdeutlichen, dass die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff00ff]Lösungskurven[/color][/i][/b] [br]der [b][i][color=#9900ff]Differentialgleichung[/color][/i][/b] sind. [br][br]Löst man die Sperre [icon]/images/ggb/toolbar/mode_keepinput.png[/icon][b][color=#38761d]f fix[/color][/b] für die Koeffizienten [math]A_x[/math] und [math]B_y[/math], so kann man die verschiedenen Lagen [br]der [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] und die der stets [b][i][color=#ff0000]konzyklischen[/color][/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] erkunden.[/size]

[size=85]Eigentlich unterscheiden sich [b][color=#cc0000]2[/color][/b]-teilige, [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teilige [b][i][color=#ff7700]bizirkulare Quartiken[/color][/i][/b] und [b][i][color=#ff7700]Kegelschnitte[/color][/i][/b] nur um ein [math]\delta\in\left\{1,0,-1\right\}[/math], [br]siehe [math]\hookrightarrow[/math] [b][i][color=#980000]book Möbiusebene[/color][/i][/b], [b][i][u][color=#0000ff][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/s9hvshds]Bizirkulare Quartiken - Die Formeln[/url][/color][/u][/i][/b][br]Mit [math]Q=\frac{A_x\cdot B_y+1}{B_y-A_x}[/math] berechnet man die [b][i][color=#00ff00]Brennpunkte[/color][/i][/b] der [b][color=#cc0000]1[/color][/b]-teiligen [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b]: [math]f=\sqrt{Q+\sqrt{q^2+1+0\cdot i}}[/math], [math]-f,\frac{i}{f},\frac{-i}{f}[/math].[br]Die [b][i][color=#ff7700]Quartik[/color][/i][/b]-Gleichung lautet: [math]\left(x^2+y^2\right)^2-2\cdot A_x\cdot x^2-2\cdot B_y\cdot y^2-1=0[/math].[br]Bei [b][i]fixen[/i][/b] [b][i][color=#00ff00]Brennpunkten[/color][/i][/b] berechnet man zu [math]B'_y[/math] das zugehörige [math]A'_x=\frac{B'_y\cdot Q-1}{B'_y+Q}[/math] und erhält damit [b][i][color=#38761d]konfokale[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b].[br]Mit den Lösungen einer [i]quadratischen Gleichung[/i] findet man die [b][color=#cc0000]2[/color][/b] [b][i][color=#0000ff]orthogonalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#38761d]konfokalen[/color][/i][/b] [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] durch einen Punkt [b][color=#ff0000]p[sub]0[/sub][/color][/b].[br][br]Die [b][i][color=#ff7700]Quartiken[/color][/i][/b] sind wieder [b][i][color=#0000ff]Winkelhalbierende[/color][/i][/b] der [b][i][color=#ff0000]Kreise [/color][/i][/b]zweier [color=#ff0000]Kreisbüschel[/color]: eines ist [b][i][color=#ff0000]elliptisch[/color][/i][/b], das andere [b][i][color=#ff0000]hyperbolisch[/color][/i][/b].[/size]