Einleitung

Kurzinformation

Thema: Räuber-Beute-Modell, Differentialgleichungen
Schulstufe: 7. -8. Klasse (AHS)
Fach: WPG Mathematik
Dauer: 4 Einheiten
Spezielle Materialien: Laptops
Ort: Klassenzimmer

Die Schüler:innen sollen in Gruppenarbeit verschiedenen Pandemie-Modelle erarbeiten. Dazu erhalten sie über ein Padlet verschiedenen Arbeitsblätter. Das Ziel dieses Workshops besteht darin, den Schüler:innen einen Einblick zu geben, wie die gegenseitige Beeinflussung unterschiedlicher Populationen modelliert werden kann, welche Parameter dazu notwendig sind und auf welchen Annahmen die Modelle erstellt wurden. Darüber hinaus sollten sie dazu in der Lage sein, die Modelle interpretieren zu können.

Eingliederung

Das Räuber-Beute-Modell stellt ein sogenanntes biomathematisches Modell dar. Von biomathematischem Modell spricht man dann, wenn zu biologischen oder gesellschaftlichen Fragestellungen mathematische Modelle gesucht und aufgestellt werden. Damit ergibt sich auch ein fächerübergreifender Charakter zur Biologie bzw. Geschichte.

Rahmenbedingungen

Der hier beschriebene Workshop ist für einen Wahlgegenstand oder auch Wahlpflichtgegenstand (WPG) in Mathematik erstellt worden. Demnach ist davon auszugehen, dass hauptsächlich an Mathematik interessierte Schüler:innen an diesem Workshop teilnehmen. Es ist also grundsätzlich mit Motivation und Bereitschaft auf Seiten der Schüler:innen zu rechnen. Die Gruppe kann dennoch sehr heterogen sein, was entsprechendes Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten in Bezug auf Mathematik betrifft. Daher sollte der Workshop auch Elemente der Differenzierung enthalten.Die gegebenen Rahmenbedingungen erlauben es, auch Themen aufzugreifen, die nicht direkt im Lehrplan vorkommen bzw. diesen erweitern. Das hier beschriebene Thema „Räuber- und Beute-Modell“ ist für die 7. – 8. Klasse vorgesehen. Weiters wird davon ausgegangen, dass der Workshop geblockt im Rahmen von vier Unterrichtseinheiten abgehalten werden kann. Das bedeutet, dass der Workshop in einem durchgeführt werden kann und nicht an unterschiedlichen Tagen stattfindet. Die Schüler:innen brauchen sich demnach nicht jede Einheit neu in das Thema einfinden und haben die Möglichkeit, sich für eine längere Zeitspanne durchgehend mit dem Thema beschäftigen zu können. Das Ziel dieses Workshops besteht darin, den Schüler:innen einen Einblick zu geben, wie die gegenseitige Beeinflussung unterschiedlicher Populationen modelliert werden kann, welche Parameter dazu notwendig sind und auf welchen Annahmen die Modelle erstellt wurden. Darüber hinaus sollten sie dazu in der Lage sein, die Modelle interpretieren zu können. Konkreter bedeutet dies, zu erfassen, welche Auswirkung die Veränderung eines Parameters auf das Geschehen hat. In diesem Zusammenhang sollte die Vorhersage zukünftiger Entwicklungen diskutiert werden.

Vorwissen

Vorwissen der Schüler:innen:

Wachstums- und Abnahmeprozesse
Wachstumsmodelle (z.B. Weltbevölkerung, Bakterien, …)
Differentialrechnung (inkl. Infinitesimale Änderungen, Übergang von diskret zu kontinuierlich, Schreibweise mit „∆“, Interpretationen von Veränderungen, …)
Diskrete Beschreibung von Prozessen
Grafische Veranschaulichung von Prozessen
Interpretationen von dynamischen Veränderungen

Darüber hinaus sollten die Schüler:innen mit dem Modellieren vertraut sein. Das heißt, sie wissen, welche Schritte bei einem Modellierungskreislauf zu bewältigen sind. Weiters sind die Schüler:innen Kleingruppenarbeiten gewöhnt und können angemessen sozial interagieren. Ebenso können die Schüler:innen mit Technologie umgehen und diese zur Veranschaulichung und Beschreibung mathematischer Zusammenhänge sinnvoll einsetzen. Insbesondere kennen sie GeoGebra und sind mit den grundlegenden Funktionen vertraut.

Lernergebnisse und Kompetentzen

Inhaltliche/ mathematische Ziele: Die Schüler:innen ...

erfassen das dem Räuber-Beute-Modell zugrundeliegende Konzept zweier Populationen, die einander beeinflussen.
erarbeiten mit der Lehrkraft gemeinsam Annahmen, welche für das Räuber-Beute Modell notwendig sind.
können nachvollziehen und in eigenen Worten erklären, warum es notwendig ist, entsprechende Annahmen zu treffen, um ein Modell aufzustellen.
beschreiben die Grenzfälle des Populationsverhaltens (Beute: exponentielles Wachstum, wenn keine Räuber vorhanden; Räuber: sterben aus, wenn keine Beute vorhanden).
sind dazu in der Lage, Parameter zu nennen, welche für die Beschreibung des Populationsverhaltens notwendig sind.
können unter Anleitung und Hinführung der Lehrkraft die zugehörigen Differentialgleichungen aufstellen, welche die Zusammenhänge beschreiben.
stellen die Differentialgleichung in diskrete Form als Rekursionsformel dar.
können mit Hilfe von Technologieeinsatz Verläufe qualitativ wiedergeben, Parameter interpretieren sowie die Konsequenzen bei Veränderung von gewissen Parameterwerten erklären.
diskutieren über Grenzen des Modells und reflektieren das Modell hinsichtlich der getroffenen Annahmen.
geben Verbesserungsvorschläge an, wodurch das Modell genauer werden würde.
können ein zum Räuber-Beute-Modell analoges Modell zur Ausbreitung von Epidemien entwickeln.
erläutern, inwiefern gewisse Annahmen zu Vereinfachungen der realen Situation führen.
stellen auf Basis von Annahmen zugehörige Differenzen- und Differentialgleichungen auf.
nennen zur Beschreibung notwendige Parameter bzw. führen diese ein.
nützen Technologie, um das Verhalten unter bestimmten Voraussetzungen qualitativ beschreiben zu können.
interpretieren mit Hilfe des Technologieeinsatzes die Differenzen- bzw. Differentialgleichungen bezüglich der verschiedenen Parameter und deren Veränderung.
reflektieren und Validieren das vorliegende Modell.
geben Möglichkeiten an, wie das Modell verbessert werden kann.
betrachten ein verbessertes/genaueres Modell (mit analogen Zielen).
vergleichen verschiedene Modelle untereinander und nennen Vor- und Nachteile der einzelnen Modelle.
diskutieren einen komplizierteren Epidemic-Calculator im Internet nach Annahmen, Parameter, Verläufe, … .

überfachliche Ziele: Die Schüler:innen ...

arbeiten unter Einbeziehung des Individuums in Kleingruppen zusammen.
diskutieren über alltagsrelevante und reale Situationen.
erkennen Mathematik als Möglichkeit, um Situationen, Fragestellungen und Probleme aus sachlicher Perspektive betrachten zu können.
sehen ein, dass durch Mathematik Wirkungszusammenhänge erklärt und beschrieben werden können.
nutzen Technologie vorteilhaft aus, um Sachverhalte veranschaulichen und Interpretieren zu können.
diskutieren und reflektieren über Gültigkeit und Grenzen.