Satz von Pythagoras - Flexible Arbeitsblätter
Dieses GeoGebraBook beschäftigt sich mit dem Thema "Pythagoras".
Table of Contents
- Pythagoras von Samos (um 570 bis 510 v. Chr)
- Pythagoras von Samos (um 570 bis 510 v. Chr)
- Erste Aufgaben
- Heranführung an das Thema
- Seildreiecke mit dem 12-Knoten-Seil
- Satz von Pythagoras - Beweise
- Beweis von Euklid
- Puzzle-Beweis
- Vertiefung/Puffer: Erstellung von Erklärvideo
- Satz von Pythagoras – weitere Beweise
- Weiterer Beweis
- Mathe-Song mit weiterem Beweis
- Erweiterung des Satzes von Pythagoras
- Der Satz von Pythagoras
Pythagoras von Samos (um 570 bis 510 v. Chr)
[b]Pythagoras von Samos[/b] ([url=http://de.wikipedia.org/wiki/Altgriechische_Sprache]griechisch[/url] Πυθαγόρας; * um 570 v. Chr. auf [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Samos]Samos[/url]; † nach 510 v. Chr. in [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Metapont]Metapont[/url] in der[url=http://de.wikipedia.org/wiki/Basilicata]Basilicata[/url]) war ein antiker griechischer [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Philosophie]Philosoph[/url] ([url=http://de.wikipedia.org/wiki/Vorsokratiker]Vorsokratiker[/url]) und Gründer einer einflussreichen religiös-philosophischen Bewegung.
Schon im 4. Jahrhundert v. Chr. führten [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Aristoteles]Aristoteles[/url] und [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Aristoxenos]Aristoxenos[/url] die Anfänge der Mathematik bei den Griechen auf die Pythagoreer bzw. Pythagoras zurück.[sup][url=http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras#cite_note-23][23][/url][/sup] In der [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Sp%C3%A4tantike]Spätantike[/url] und im [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelalter]Mittelalter[/url] war die Überzeugung allgemein verbreitet, Pythagoras sei der Begründer der Mathematik gewesen.[sup][url=http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras#cite_note-24][24][/url][/sup] Damit war auch die Geometrie gemeint, der für die antiken Griechen wichtigste Teil der Mathematik. Dazu passte die Überlieferung vom Aufenthalt des Pythagoras in Ägypten, denn schon [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Herodot]Herodot[/url] war der Überzeugung, die Geometrie stamme ursprünglich aus Ägypten, sie sei ein Ergebnis der Notwendigkeit stets neuer Landvermessung nach den regelmäßigen Nilüberschwemmungen gewesen.[br][br]Pythagoras gilt traditionell als der Entdecker des als [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras]Satz des Pythagoras[/url] bekannten Lehrsatzes der Euklidischen Geometrie über das rechtwinklige Dreieck. Dieser Satz war schon Jahrhunderte vor Pythagoras den Babyloniern bekannt. Ob sie aber einen Beweis für den Satz kannten, ist unbekannt. Zhmud meint, Pythagoras habe einen Beweis gefunden, während Burkert im Sinne der Schamanismusthese argumentiert, dafür gebe es keinen Beleg und Pythagoras habe sich für mathematische Beweisführung gar nicht interessiert[br][br]Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras
Heranführung an das Thema
Die Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate beträgt immer wie viel [math]cm^2[/math]?
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Quadratflächen?
Beweis von Euklid
[table][tr][td]Das Applet oben zeigt den Beweis des Euklid für den Satzes von Pythagoras.[br][br]Verändere das rechtwinkelige Dreieck durch das Bewegen der Punkte A und C.[br][br][b]Bearbeite nun die folgenden Aufgaben.[/b][/td][/tr][/table]
[list][*]Verschiebe den Punkt E. [br][/*][/list][b]Welche Figur entsteht dadurch? [/b]
[b]Wie groß ist der Flächeninhalt dieser Figur im Vergleich zum blauen Quadrat mit der Seitenlänge b.[br][/b][url=https://mathe-realschule.de/flaecheninhalt-parallelogramm-dreieck-drachenviereck-raute-trapez/]Tipp[/url]
[list][*]Verschiebe den Punkt E solange in Richtung zum Punkt B, bis bei B ein neuer Punkt F angezeigt wird.[/*][*]Drehe diesen Punkt F auf einem Viertelkreis nach unten.[br][/*][/list][b]Verändert sich dadurch der Flächeninhalt des gedrehten Parallelogramms?[/b]
[list][*]Verschiebe nun den Punkt G nach unten. [br][/*][*]Vergleiche das urspüngliche blaue Quadrat mit der Seitenlänge b und das neu entstandene Rechteck. [/*][/list][b]Welchen Flächeninhalt haben sie?[/b]
Überprüfe deine Erkenntnisse nun durch das nächste Applet!
Bewege die Schieberegler
[b]Wie kann damit der Zusammenhang aus der vorherigen Seite erklärt werden?[/b]
Weiterer Beweis
Betrachte ein beliebiges rechtwinkeliges Dreieck mit den Seiten a, b und c.[br][br]Darunter ist ein Quadrat mit der Seitenlänge der Hypotenuse c des Dreiecks errichtet. [br]In dieses Quadrat ist wiederum das ursprüngliche rechtwinkelige Dreieck insgesamt viermal eingezeichnet.[br]Wie groß ist der Flächeninhalt A1 des kleinen (rot gefärbten) Quadrats? [br][br]Der Flächeninhalt des rechtwinkeligen Dreiecks sei A2, der des großen Quadrats sei A3.[br][br]Überlege, dass gilt: [math]A_1+4 \cdot A_2 = A_3[/math][br]Durch Einsetzen ergibt sich [math](a-b)^2+4 \cdot\frac{a·b}{2}=c^2[/math] [br]und dies führt auf: a² + b² = c²
Der Satz von Pythagoras
Wiederholung: Finde einen Zusammenhang
Verändere die Lage der Punkte B und C.[br]Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Flächeninhalten des [color=#0000ff]blauen[/color], [color=#e06666]roten [/color]und [color=#38761d]grünen [/color]Quadrats entdecken?
Eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras
Der Satz für Pythagoras besagt, dass bei einem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der Quadrate über den Katheten gleich ist dem Quadrat über der[br] Hypotenuse.[br][br]Gilt diese Aussage auch für beliebige gleichseitige Vielecke?[br]Gilt sie auch für andere Figuren?[br]Versuche, eine Begründung zu finden.