Data una funzione [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] [b]continua[/b] nell'intervallo [math]\large\bf\left[a,b\right]\subseteqq D(f)[/math], se è possibile definire la funzione [math]\large\bf x=x\left(t\right)[/math], [b]derivabile[/b] e con [math]\large\bf C\left(x\left(t\right)\right)=\left[a,b\right][/math], allora vale la seguente relazione:[br][center][math]\Large\bf \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{t_1}^{t_2}f\left(x\left(t\right)\right)\cdot x'\left(t\right)\ dt[/math][/center]dove [math]\large\bf t_1=x^{-1}\left(a\right)[/math] e [math]\large\bf t_2=x^{-1}\left(b\right)[/math] (cambio degli estremi d'integrazione), è detta [b]relazione d'integrazione per sostituzione di variabile[/b].

Cambiando gli estremi, non si dovrà più tornare alla variabile originale [b]x[/b] alla fine dell'esercizio ma l'integrale si risolverà direttamente in [b]t[/b] tra [math]\large\bf t_1[/math] e [math]\large\bf t_2[/math].