In dieser Aufgabe geht es um die allgemeine Version der in Aufgabe 2 behandelten Funktionen.[br][br][color=#1155Cc]Leitet euch anhand der untenstehenden Fragen eine allgemeine Form des Interpolationspolynoms her.[/color]
Wir betrachten zunächst die Punkte [math]P\left(a\mid0\right)[/math], [math]Q\left(b\mid0\right)[/math] und [math]R\left(c\mid d\right)[/math].
Wie lautet eine Funktion, die durch die Punkte auf der x-Achse verläuft (P und Q)?
[math]f\left(x\right)=\left(x-a\right)\cdot\left(x-b\right)[/math]
Welchen Funktionswert hat diese Funktion an der Stelle [math]x=c[/math]?
[math]f\left(c\right)=\left(c-a\right)\cdot\left(c-b\right)[/math]
Wie kann man die Funktion [math]f[/math] anpassen, sodass sie and der Stelle [math]x=c[/math] den Wert [math]1[/math] hat?
Man teilt durch den Funktionswert an der Stelle [math]x=c[/math].[br][br][math]f_{neu}\left(x\right)=\frac{\left(x-a\right)\cdot x\left(-b\right)}{\left(c-a\right)\cdot\left(c-b\right)}[/math]
Wie kann man die Funktion [math]f_{neu}[/math] anpassen, sodass sie durch den Punkt [math]R\left(c\mid d\right)[/math] verläuft?
Man multipliziert die Funktion mit [math]d[/math].[br][br][math]f_{interpol.}\left(x\right)=d\cdot\frac{\left(x-a\right)\cdot\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\cdot\left(c-b\right)}[/math]
Die Funktion [math]\ell^{\left(2\right)}\left(x\right)=\frac{\left(x-a\right)\left(x-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}[/math] nennt man auch [b]Lagrange-Polynom[/b]. [br]Die eingeklammerte [math]\left(2\right)[/math] steht dafür, dass das Polynom den Grad 2 hat. [br][br]Eine wichtige Eigenschaft des Lagrange-Polynoms ist, dass es an der Stelle [math]x=c[/math] den Funktionswert [math]1[/math] hat. Diese Eigenschaft bezeichnet man als [b]Normiertheit[/b].
Im Allgemeinen hat man statt zwei Punkten auf der x-Achse [math]n[/math] Punkte auf der x-Achse, nämlich [math]P_1\left(x_1\mid0\right)[/math], [math]P_2\left(x_2\mid0\right)[/math], [math]\dots[/math], [math]P_n\left(x_n\mid0\right)[/math], und den Punkt [math]R\left(x_R\mid y_R\right)[/math].[br]Wie lautet das Lagrange-Polynom?[br][br][i]Hinweis:[/i] Versuche, ein Muster in [math]\ell^{\left(2\right)}\left(x\right)[/math] zu erkennen und auf [math]\ell^{\left(n\right)}\left(x\right)[/math] zu übertragen.
[math]\ell^{\left(n\right)}\left(x\right)=\frac{\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_n\right)}{\left(x_R-x_1\right)\cdot\left(x_R-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x_R-x_n\right)}[/math]
Wie lautet dann die zugehörige Interpolationsfunktion?
[math]f\left(x\right)=y_R\cdot\ell^{\left(n\right)}\left(x\right)=y_R\cdot\frac{\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x-x_n\right)}{\left(x_R-x_1\right)\cdot\left(x_R-x_2\right)\cdot\dots\cdot\left(x_R-x_n\right)}[/math]
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