La retta di Eulero
Si dimostra come n un triangolo ortocentro O, baricentro G e circocentro E sono allineati. La retta passante per i tre punti si chiama "retta di Eulero"
Table of Contents
- Circocentro
- Circocentro
- Incentro
- Incentro G
- Ortocentro
- Ortocentro
- Baricentro
- Baricentro
- La retta di Eulero
- La retta di Eulero
- Verifica
- Verifica
Circocentro
Circocentro
[b]Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto. Tale punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e si chiama circocentro.[br][/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[br][/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]SO è asse del lato AC;[/*][*]TO è asse del lato BC;[/*][*]M è punto medio di AB.[/*][/list][/td][td][list][*]MO è asse di AB;[/*][*]O è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.[/*][/list][/td][/tr][/table][list][/list][i][b]Costruzione[/b][/i][b]Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto. Tale punto è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo e si chiama circocentro.[br][/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[br][/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]SO è asse del lato AC;[/*][*]TO è asse del lato BC;[/*][*]M è punto medio di AB.[/*][/list][/td][td][list][*]MO è asse di AB;[/*][*]O è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC.[/*][/list][/td][/tr][/table][br][list][/list][br][i][b]Costruzione[/b][/i][br]Disegnare un triangolo ABC; l'asse SO del lato AC e l'asse TO del lato BC (sono incidenti in O perché perpendicolari a rette incidenti). Segnare poi il punto medio M del lato AB.
Dimostrazione
[b][i]Dimostrazione[/i][/b][br]Prima parte:[br] [br][list=1][*]O appartiene all'asse di AC allora è equidistante dai suoi estremi cioè OA=OC[/*][*]O appartiene all'asse di BC allora è equidistante dai suoi estremi cioè 0B=OC[/*][*]per 1. e 2. e per la transitività della congruenza si ottiene OA=OB[/*][*]O è un punto dell'asse di AB perchè OA=OB, M è un punto dell'asse di AB perchè è il suo punto medio quindi MO è l'asse di A[/*][/list]Seconda parte[br] [br][list][*]Dalla dimostrazione fatta risulta OA=OB=OC quindi O è il centro della circonferenza che passa per i vertici del triangolo.[br][br]c.v.d.[/*][/list]
Incentro G
[b]Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in un punto. Tale punto è detto incentro ed è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo.[/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]AI è la bisettrice dell'angolo in A;[/*][*]BI è la bisettrice dell'angolo in B [/*][/list][/td][td][list][*]CI è la bisettrice dell'angolo in C;[/*][*]I è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo[/*][/list][/td][/tr][/table][br][b]Costruzione[/b][br]Disegnare un triangolo ABC; la bisettrice AI dell'angolo in A e la bisettrice BI dell'angolo in B (sono incidenti in I perché tagliate dalla trasversale AB formano angoli coniugati interni non supplementari).
[b][i]Dimostrazione[/i][/b][br]Prima parte:[br][list=1][*]I appartiene alla bisettrice dell'angolo in A allora è equidistante dai suoi lati cioè IE=IF[/*][*]I appartiene alla bisettrice dell'angolo in B allora è equidistante dai lati cioè IF=ID[/*][*]per 1. e 2. e per la transitività della congruenza si ottiene IE=ID [/*][*]Essendo IE=ID allora I è un punto della bisettrice dell'angolo in C , così anche la terza bisettrice passa per I. [/*][/list]Seconda parte[br][list][*]Dalla dimostrazione fatta risulta IE=IF=ID quindi I è il centro della circonferenza tangente ai tre lati del triangolo, cioè della circonferenza inscritta.[/*][/list]c.v.d.
Ortocentro
Ortocentro
[b]Le tre altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, si incontrano in un[br]punto. Tale punto è detto ortocentro.[/b][br][table][tr][td][b][i]Ipotesi[/i][/b][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]AK è altezza relativa al lato BC;[/*][*]BH è altezza relativa al lato AC;[/*][*]CJ è altezza relativa al lato AB.[/*][/list][/td][td][list][*]AK, BH e CJ si intersecano in uno stesso punto.[/*][/list][/td][/tr][/table][br][i][b]Costruzione[/b][/i][br]Disegnare un triangolo ABC e le sue altezze AK, BH e CJ; per ogni vertice[br]del triangolo tracciare la parallela al lato opposto; le tre rette[br]formano il triangolo DEF.
[b][i]Dimostrazione[/i][/b][list=1][*]BAFC e BEAC sono due parallelogrammi perchè hanno i lati opposti paralleli.[/*][*]Poichè in un parallelogrammo i lati opposti sono congruenti: BC=AF e BC=EA.[br][/*][*]Per la transitività della congruenza si ottiene AF=EA, ossia A è punto medio di EF.[/*][*]Essendo AK perpendicolare a BC e BC//EF allora AK è perpendicolare a EF[/*][*]Per 3. e 4. AK è asse di EF; analogamente BH e CJ sono assi rispettivamente di FD e ED.[/*][*]Allora AK, BH e CJ si intersecano in uno stesso punto che è il circocentro di EDF.[/*][/list]c.v.d.
Baricentro
Baricentro
[b]Le tre mediane di un triangolo si incontrano in un punto.[br]Tale punto si chiama baricentro e divide ciascuna mediana in due parti delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell'altra.[/b][br][table][tr][td][i][b]Ipotesi[/b][/i][/td][td][i][b]Tesi[/b][/i][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo[/*][*]AM=MC; BN=NC; AP=BP;[/*][*]BM e AN si intersecano in G[/*][*]CP e BM si intersecano in G1[/*][/list][/td][td][list][*]G=G1[/*][*]AG=2GN; BG=2GM; CG=2GP[/*][/list][/td][/tr][/table][i][b][br]Costruzione[/b][/i][br]Disegnare un triangolo ABC; i punti medi M, N e P di AC, BC e AB; il punto G di intersezione tra BM e AN; i punti medi R e S di BG e AG.
[b][i]Dimostrazione[/i][/b][list=1][*]Il segmento MN congiunge i punti medi di due lati del triangolo ABC quindi MN // AB e AB=2MN;[/*][*]analogamente, nel triangolo ABG, RS//AB e AB=2RS;[/*][*]per la transitività della congruenza e del parallelismo MN//RS e MN=RS[/*][*]quindi MNRS, avendo due lati opposti congruenti e paralleli, è un parallelogrammo.[/*][*]poichè in un parallelogrammo le diagonali si intersecano nel loro punto medio allora GR=GM e GS= GN[/*][*]per la transitività della congruenza GR=GM=BR e GS= GN=AS ossia AG=2GN; BG=2GM.[/*][*]Ripetendo lo stesso ragionamento a partire dal segmento PM, si prova che CG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]P; BG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]M .[/*][*]Ma BG[sub]1[/sub]=2G[sub]1[/sub]M e BG=2GM significa che G= G[sub]1[/sub], da cui la tesi[/*][/list]c.v.d.[br]
La retta di Eulero
[b]In un triangolo ortocentro O, baricentro G e circocentro E sono allineati, con ortocentro e circocentro da parti opposte rispetto al baricentro e tali che OG=2EG[i].[/i][/b][br][table][tr][td][b][i]Ipotesi[/i][/b][/td][td][b][i]Tesi[/i][/b][/td][/tr][tr][td][list][*]ABC è triangolo;[/*][*]O è l'ortocentro di ABC;[/*][*]G è il baricentro di ABC;[/*][*]E è il circocentro di ABC.[/*][/list][/td][td][list][*]O, G, E sono allineati[/*][*]OG=2EG.[/*][/list][/td][/tr][/table][br][b][i]Costruzione[/i][/b][br]Disegnare un triangolo ABC e il suo baricentro G; l'ortocentro Ort e il circocentro O di ABC.
Verifica
L’ortocentro, il baricentro e il circocentro di un triangolo sono allineati:
Il baricentro G divide il segmento avente per estremi l’ortocentro H e il circocentro C in due parti tali che: