Definiciones y conceptos

Antiderivada de una función

[color=#351C75]Sea [math]f\left(x\right)[/math] una función continua, y sea [math]F\left(x\right)[/math] una función diferenciable tal que [math]\frac{dF}{dx}=f\left(x\right)[/math], entonces a [math]F\left(x\right)[/math] la llamamos [i][b]antiderivada[/b][/i] de [math]f\left(x\right)[/math]. En otras palabras la antiderivada de una función [math]f\left(x\right)[/math], es una función cuya derivada es [math]f\left(x\right)[/math].[br][br][size=100][size=150][color=#9900ff][u]Idea clave: [/u][/color][/size][/size]Siempre que obtenemos una antiderivada [math]F\left(x\right)[/math], la forma de comprobar que nuestra respuesta es correcta es derivando [math]F\left(x\right)[/math], el resultado debe ser de nuevo [math]f\left(x\right)[/math], de otra forma nuestra antiderivada es incorrecta, prueba con los siguientes ejemplos: [br][br]a) Una antiderivada de [math]f\left(x\right)=2x[/math] es la función [math]F\left(x\right)=x^2[/math][br]b) Una antiderivada de [math]f\left(x\right)=cos\left(x\right)[/math] es la función [math]F\left(x\right)=sin\left(x\right)[/math][math][/math][/color] [br][br]Resuelve los siguientes ejercicios de práctica; puedes derivar las posibles opciones de respuesta para ver cuáles son las antiderivadas correctas.

Ejercicio 1

¿Cuál de las siguientes funciones es la antiderivada de [math]f\left(x\right)=3x^2[/math]?

[math]F\left(x\right)=6x[/math] [size=150][math]F\left(x\right)=x^3[/math][/size] [math]F\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3[/math] [math]F\left(x\right)=3x^3[/math]

Ejercicio 2

¿Cuál de las siguientes funciones es una antiderivada de [math]f\left(x\right)=Sec\left(x\right)Tan\left(x\right)[/math]?

[math]F\left(x\right)=Csc\left(x\right)Cot\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=Tan\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=Sec\left(x\right)[/math] [size=150][math]F\left(x\right)=Csx\left(x\right)[/math][/size]

Ejercicio 3

¿Cuál de las siguientes opciones es la antiderivada de la función [math]f\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}[/math]?

[math]F\left(x\right)=arcsin\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] [math]F\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=arctan\left(x\right)[/math]

Pregunta 4

¿Cuál de las siguientes funciones es la antiderivada de [math]f\left(x\right)=e^x[/math]?

[math]F\left(x\right)=\frac{e^{x+1}}{x+1}[/math] [math]F\left(x\right)=ln\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=e^{x+1}[/math] [math]F\left(x\right)=e^x[/math]

Pregunta 5

¿Cuáles de las siguientes funciones son antiderivadas de [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math]? Señala todas las que sean correctas.

[math]F\left(X\right)=ln\left(x\right)[/math] [math]F\left(x\right)=\frac{1}{x^2}[/math] [math]F\left(x\right)=ln\left(x\right)-1[/math] [math]F\left(x\right)=ln\left(x\right)+3[/math]

Pregunta 6

¿Cuáles de las siguientes opciones son antiderivadas de [math]f\left(x\right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}[/math]? Señala todas las que sean correctas.

[math]F\left(x\right)=\sqrt{x}[/math] [math]F\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{2}[/math] [math]F\left(x\right)=\sqrt{x}-2[/math] [math]F\left(x\right)=\sqrt{x-2}[/math] [math]F\left(x\right)=2\sqrt{x}[/math] [math]F\left(x\right)=\sqrt{x}+C[/math] en donde [math]C[/math] es una constante.