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Geometria Analítica - HENRIQUE DE MORAIS
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1. Coordenadas no plano, distância entre dois pontos, ponto médio, razão de secção.
- Coordenadas Cartesianas
- Batalha Naval no Plano Cartesiano
- Distancia entre dois pontos
- PONTO MÉDIO
- Razão de Secção
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2. Equação da reta y = mx + n e métodos para determinação da equação da reta (dois pontos e ponto/coeficiente angular).
- Equação reduzida da reta: y = ax + b
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3. Posições relativas entre retas e sistemas de equações em 2 variáveis.
- Sistema de equações 2 x 2 e a respectiva análise das posições relativas entre retas
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4. Equação da circunferência e posições relativas.
- Equação reduzida da circunferência e posições relativas
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5. Vetores no plano e operações geométricas.
- Definições
- Operação com vetores: Adição
- Operação com vetores: Diferença
- Operação com vetores: Multiplicação por escalar
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6. Vetores no plano e operações algébricas.
- Vetores no Plano (Representação Algébrica)
- Operações Algébricas (Adição)
- Operações Algébricas (Subtração)
- Operações Algébricas (Multiplicação de Vetor por Escalar)
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7. Ortogonalidade de vetores, reta e vetor normal.
- Vetores Ortogonais
- Equação da Reta no Plano via Vetor Normal
- Conclusões Finais
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8. Vetores no espaço e operações (geométricas e algébricas).
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9. Plano e vetor normal e sistemas de equações em 3 variáveis.
- PLANO E VETOR NORMAL
- Plano perpendicular ao vetor N passando por Pzero
- Equação do Plano via Vetor Normal
- Sistemas de Equações em 3 Variáveis
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Geometria Analítica - HENRIQUE DE MORAIS
Tópicos de Geometria 2015/1, HENRIQUE DE MORAIS SOUZA, May 1, 2018
GeoGebraBook elaborado pelos mestrandos do Programa de Pós-graduação em Ensino de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul e copiado pelo aluno de Especialização Metodologias do Ensino de Matemática - UnB. O livro trata de conceitos básicos da Geometria Analítica , utilizando recursos do GeoGebra.
Table of Contents
- Coordenadas no plano, distância entre dois pontos, ponto médio, razão de secção.
- Coordenadas Cartesianas
- Batalha Naval no Plano Cartesiano
- Distancia entre dois pontos
- PONTO MÉDIO
- Razão de Secção
- Equação da reta y = mx + n e métodos para determinação da equação da reta (dois pontos e ponto/coeficiente angular).
- Equação reduzida da reta: y = ax + b
- Posições relativas entre retas e sistemas de equações em 2 variáveis.
- Sistema de equações 2 x 2 e a respectiva análise das posições relativas entre retas
- Equação da circunferência e posições relativas.
- Equação reduzida da circunferência e posições relativas
- Vetores no plano e operações geométricas.
- Definições
- Operação com vetores: Adição
- Operação com vetores: Diferença
- Operação com vetores: Multiplicação por escalar
- Vetores no plano e operações algébricas.
- Vetores no Plano (Representação Algébrica)
- Operações Algébricas (Adição)
- Operações Algébricas (Subtração)
- Operações Algébricas (Multiplicação de Vetor por Escalar)
- Ortogonalidade de vetores, reta e vetor normal.
- Vetores Ortogonais
- Equação da Reta no Plano via Vetor Normal
- Conclusões Finais
- Vetores no espaço e operações (geométricas e algébricas).
- Plano e vetor normal e sistemas de equações em 3 variáveis.
- PLANO E VETOR NORMAL
- Plano perpendicular ao vetor N passando por Pzero
- Equação do Plano via Vetor Normal
- Sistemas de Equações em 3 Variáveis
Coordenadas Cartesianas
Equação reduzida da reta: y = ax + b
Autoras: Anelise e Elisete
Estudo do coeficiente angular(a) da reta y = ax + b
Estudo do coeficiente linear (b) da reta y = ax + b
ANÁLISE GRÁFICA DA FUNÇÃO y = ax + b
Sistema de equações 2 x 2 e a respectiva análise das posições relativas entre retas
Introdução
Para determinarmos as posições relativas entre duas retas em um sistema de equações, precisamos observar o vetor associado a cada reta e um ponto sob esta reta. O vetor associado é obtido por meio da equação, a primeira coordenada sendo o coeficiente de x e a segunda coordenadas o coeficiente de y. O ponto obtém-se quando atribuímos o valor zero à abcissa e assim determinamos a ordenada, com isso podemos analisar em ambos os casos (reta 1 e reta 2) em qual ponto interceptam o eixo das ordenadas.
Exploração
Por meio da manipulação do seguinte arquivo, faça representações, usando os controles deslizantes correspondentes, que ilustrem as respostas das perguntas. Sugestão: a cada construção o educando pode enviar a imagem ao professor. a) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam paralelas. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2? b) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam paralelas e coincidam. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2? c) Movimente os controles deslizantes, de maneira que as retas sejam concorrentes. O que isso significa na classificação de um sistema 2 x 2?
Equação reduzida da circunferência e posições relativas
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então:
dCP=
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunfer6encia estiver na origem ( C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2
EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA DE CENTRO (H,K)
Definições
Observe as figuras abaixo. Movimente um dos pontos da figura 1 e observe o que ocorre com o ponto da mesma cor na figura 2.
Definindo
Na animação, a figura 1 foi deslocada, permanecendo com as mesmas propriedades. Assim podemos dizer que a figura 1 foi transladada gerando a figura 2.
O efeito da translação pode ser representado por um conjunto de setas de mesma direção, sentido e comprimento.
Na animação abaixo movimente o ponto "mover" e analise o que ocorre com as demais setas
Vetor
Podemos entender um vetor como um conjunto de setas que tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Setas que representam um mesmo vetor estão associadas por paralelogramos. Na animação acima marque a caixa "ver paralelogramo" e movimente os pontos observando o paralelogramo.
Na figura abaixo, há mais uma animação para que você verifique a translação, movimente-a e observe as propriedades já vistas anteriormente.
Vetores no Plano (Representação Algébrica)
Vejamos agora como representar, algebricamente, um vetor no plano cartesiano através da atividade abaixo:
A atividade mostra os pontos A e B formando o segmento orientado AB e o vetor u. Mostra também os pontos C e D formando o segmento orientado CD e o vetor v. O leitor deverá seguir as instruções contidas no arquivo GeoGebra e tirar suas próprias conclusões.Representações Algébricas de Vetores
Conclusão:
Na imagem abaixo temos dois pontos:
A = (xi, yi)
B = (xf, yf)
Temos também o vetor u que pode ser representado pelo segmento orientado AB.
Percebe-se que a relação entre as coordenadas dos pontos A e B e as coordenadas do vetor u serão dadas por:
u = ( xf-xi , yf – yi )
Esta relação escrita em apenas uma linha pode, também, ser expressa através de uma coluna.
Para saber mais...
Caso o aluno sinta-se interessado no assunto e queira se aprofundar, sugere-se que assista o vídeo abaixo até o final.
O vídeo trata sobre vetores no plano até o tempo: 9:16min.
Após isso, traz a ideia de vetores no espaço.
Geometria Analítica – Vetores no plano e no espaço
Vetores Ortogonais
ORTOGONALIDADE DE VETORES
Se é ortogonal à , o ângulo entre os vetores e é 90˚.
Vetores Ortogonais
Os lados desse triângulo têm as seguintes dimensões:
Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
a²- 2ac + c² + b² - 2bd + d² = a² + b² + c² + d²
a²- 2ac + c² + b² - 2bd + d² - a² - b² - c² - d² = 0
- 2ac – 2bd = 0
ac+ bd = 0
Assim, podemos afirmar que:
Se (a, b) e (c, d) são ortogonais, então a.c + b.d = 0.
PLANO E VETOR NORMAL
PLANO E VETOR NORMAL
Dado um ponto P e u
m vetor Nexiste um único plano que é ortogonal a N passando por P.
Na construção a seguir, movimente os controles deslizantes A, B e C para modificar o vetor normal N e movimento o ponto P na janela de visualização 3D para alterar o ponto pelo qual o plano passa.
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