Fassen wir zunächst ein paar Ergebnisse aus den bisherigen Arbeitsblättern zusammen:[br][br]Der zeitliche Verlauf eines Bestands an radioaktivem Jod-131 lässt sich durch eine Funktion der Form f(x) = C · a[sup]x[/sup] beschreiben, wobei f(0) = C · a[sup]0[/sup] = C der Anfangsbestand zur Zeit x = 0 und a der Änderungsfaktor pro Zeiteinheit ist. Misst man die Zeit x in Tagen, dann ist a = 0,917; wählt man als Zeiteinheit 8 Tage (die Halbwertszeit von Jod-131) , dann ist a = 0,5, da 0,917[sup]8[/sup] ≈ 0,5 ist; nimmt man als Zeiteinheit eine Stunde, dann ist a = 0,917[sup](1/24)[/sup] ≈ 0,9964.[br][br]Eine Funktion der Form[b] f(x) = C · a[/b][sup][b]x[/b] [/sup] wird in der Mathematik bezeichnet als [b]Exponentialfunktion zur Basis a mit dem Anfangswert C[/b]. Dabei wird vorausgesetzt, dass a > 0 ist. Die Zahl C kann mathematisch beliebig sein, jedoch ist es bei einer Interpretation von f(x) als Maßzahl für einen Bestand sinnvoll, C > 0 vorauszusetzen. In diesem Fall beschreibt die Funktion für a > 1 einen exponentiellen Wachstumsprozess, und für a < 1 einen exponentiellen Zerfalls- oder Abnahmeprozess. Der Fall a = 1 liefert den konstanten Wert f(x) = C.[br][br]Am Beispiel der Zahlenwerte von Jod-131 haben wir exemplarisch festgestellt: [br]Bildet man für jeden Zeitpunkt x die durchschnittliche Änderungsgeschwindigkeit [math]m_h\left(x\right)=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math] im Zeitintervall [x, x+h], wobei h fest vorgegeben ist, so sind die Größen m[sub]h[/sub](x) und f(x) zueinander proportional, d.h. m[sub]h[/sub](x) = k[sub]h[/sub] · f(x) mit einer Konstanten k[sub]h[/sub]. Der Wert dieser Konstanten ließ sich (im Falle von Jod-131 mit a = 0,917) bestimmen zu [math]k_h=\frac{a^h-1}{h}[/math].[br][br]Im folgenden Applet sehen Sie diese Sachverhalte noch einmal für die Werte C = 100, a = 0,917 und h = 4 dargestellt. In blau sehen Sie einen Ausschnitt des Graphen von f und in rot eine Sekante durch die Punkte P (x | f(x)) und Q (x+h | f(x+h)). [br][br]Es soll untersucht werden was passiert, wenn h gegen 0 geht. Sie können dabei den Punkt P bewegen und den Ausschnitt des Graphen verschieben und zoomen.
1. Bewegen Sie P entlang der blauen Kurve und beobachten Sie, welche Größen sich ändern und welche konstant sind.[br][br]2. Setzen Sie den Schieber für h zunächst auf 1 und dann auf 0,5 und beobachten Sie die Auswirkungen. Vergleichen Sie die angezeigten Werte mit denen aus Arbeitsblatt 3.[br][br]Tipp: Wenn Sie P anklicken und dann die Pfeiltasten der Tastatur benutzen, bewegt sich P mit der Schrittweite 1 nach rechts oder links. [br][br]3. Gehen Sie nun langsam mit h gegen 0 und beobachten Sie die Auswirkungen. [br][br]Tipp: Wenn Sie h anklicken und dann die Pfeiltasten der Tastatur benutzen, ändert sich h mit einer Schrittweite von 10[sup]-4[/sup], bei gedrückter Strg-Taste10[sup]-3[/sup], bei gedrückter Shift-Taste 10[sup]-5[/sup].[br][br]4. Bewegen Sie für h = 10[sup]-5[/sup] wieder den Punkt P entlang der blauen Kurve.[br][br][b]Fragen:[/b][br]a) Ab welchem Wert für h in der Nähe von 0 ändert sich der Quotient [math]\frac{a^h-1}{h}[/math] in den angezeigten 5 Nachkommastellen nicht mehr? Wie groß ist er dann? Welche Vermutung lässt sich daraus ableiten?[br][br]b) Wie kann man m[sub]h[/sub](x) und die rote Gerade dann (näherungsweise) interpretieren? [br][br]c) Welche Bedeutung hat dann die Konstanz von m[sub]h[/sub](x)/f(x) ? Wie kann man demnach an einer beliebigen Stelle x die Ableitung f'(x) (näherungsweise) berechnen?
a) Für |h| < 7,4 · 10[sup]-4[/sup] ändert sich der Quotient (a[sup]h[/sup] - 1) / h nicht mehr in den angezeigten 5 Stellen. Er beträgt dann -0,08665. Es ist zu vermuten, dass der Ausdruck (a[sup]h[/sup] - 1) / h, der für h=0 nicht definiert ist, einen Grenzwert für h → 0 hat, der in der Nähe von -0,08665 liegt.[br][br]b) Für h → 0 geht die mittlere Änderungsgeschwindigkeit m[sub]h[/sub](x) in die momentane Änderungsgeschwindigkeit, d.h. in die Ableitung f'(x) über, falls dieser Grenzwert existiert. Die rote Gerade ist dann (näherungsweise) die Tangente an den Graphen von f im Punkt P.[br][br]c) Da der Quotient m[sub]h[/sub](x)/f(x) für alle h konstant gleich k[sub]h[/sub] := (a[sup]h[/sup] - 1) / h ist, muss dies auch für den Grenzwert für h → 0 gelten. Genauer: An jeder Stelle x ist m[sub]h[/sub](x) = k[sub]h[/sub] · f(x); falls also der Grenzwert k = lim k[sub]h[/sub] für h → 0 existiert, folgt hieraus f'(x) = k · f(x) für alle x. [br]Konkret bedeutet dies im vorliegenden Fall, dass man mit k ≈ -0,08665 die Ableitung von f an jeder Stelle berechnen kann: So ist z.B. f(8) = 100 · 0,917[sup]8[/sup] ≈ 50 und damit f'(8) ≈ -0,08665 * 50 ≈ -4,33, was man auch im Applet mit h = 10[sup]-5[/sup] ablesen kann.
Führen Sie die gleichen Untersuchungen im unteren Applet für die Funktion f(x) = C · a[sup]x[/sup] durch, zunächst mit den Voreinstellungen C = 1 und a = 2. [br][br]Wir setzen dabei stets voraus, dass der Grenzwert k = lim (a[sup]h[/sup] - 1) / h für h → 0 existiert.
a) Bestimmen Sie einen Näherungswert für k = lim (2[sup]h[/sup]-1)/h für h → 0.[br][br]b) Berechnen Sie mit dem Wert von a) (näherungsweise) die Ableitung f'(x) an den Stellen x = 0, x = 1, x = 2, x = -1 und kontrollieren Sie Ihre Ergebnisse mit Hilfe des Applets.[br][br]c) Bestimmen Sie (näherungsweise) die Gleichung des Tangente an f an der Stelle x = 0. [br][br]d) Geben Sie in die Eingabezeile C=0.5 und a=3 ein und wiederholen Sie die Untersuchung für diese Werte.[br][br]
a) k ≈ 0,69315[br]b) f'(0) = k ≈ 0,69315; f'(1) = k · f(1) = 2k ≈ 1,3863; f'(2) = 4k ≈ 2,7726; f'(-1) = k/2 ≈ 0,3466[br]c) t(x) = f'(0) · x + f(0) ≈ 0,69315 x + 1[br]d) k ≈ 1,0986; f'(0) = k · C ≈ 0,5493; f'(1) ≈ 1,6479; f'(2) ≈ 4,9438; f'(-1) ≈ 0,1831; t(x) ≈ 0,5493 x + 0,5.