[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebra-Books[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url]. ([color=#ff0000][b]Juli 2019[/b][/color])[/right][/size][size=85]Auf den folgenden Seiten wollen wir sämtliche [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] aus 3 Kreisbüscheln erfassen und auflisten. [br]Wir werden etwas allgemeiner sämliche Fälle mit Bahnkurven von [color=#0000ff][i][b]W-Bewegungen[/b][/i][/color] - also auch mit [color=#0000ff][i][b]Loxodromen-Scharen[/b][/i][/color] aufzählen.[br]Den [color=#9900ff][i][b]Nachweis[/b][/i][/color], dass mit dieser Auflistung alle solche [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] ermittelt sind, werden wir allerdings [br]hier nicht im Detail durchführen (siehe[i] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/kBuDGYqv][math]\hookrightarrow[/math] Literaturverzeichnis[/url][/i] [b][FÜW][/b] 1982)[br][br]Es seien [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3\in\mathcal{\mathbf{G}}[/math] paarweise reell linear unabhängige Infinitesimale Erzeugende von drei [i][b]Moebius-W-Bewegungen[/b][/i].[br]Durch [math]\mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{p}\equiv 1[/math] mit [math]\mathbf\vec{p}\in\mathcal{\mathbf{G}},\mathbf\vec{p}\,^2=0[/math] werden [color=#6aa84f][i][b]Vektorfelder[/b][/i][/color] [math]X_i[/math] in der Moebiusebene definiert, deren Bahnkurven [br]die Kreise, bzw. die Loxodrome des Büschels sind.[br][/size][size=85][size=85][br]In einer[u] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/uQfTt4c6][math]\hookrightarrow[/math][i] euklidischen Karte[/i][/url][/u] gehören hierzu die Vektorfelder [list][*][math]X_i=\mathbf{Re}\big(\mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)\big)\,\partial_x+\mathbf{Im}\big(\mathbf\vec{g}_i\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)\big)\,\partial_y[/math] für [math]i=1,2,3[/math].[/*][/list]Da nach Voraussetzung die 3 infinitesimalen Bewegungen [math]\mathbf\vec{g}_i[/math] paarweise reell-linear-unabhängig sind, zeigen [br]in jedem Punkt der Ebene die Tangentialvektoren in 3 verschiedene Richtungen - ausgenommen [br]in den [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/zHNtpeNX][color=#ff7700][math]\hookrightarrow[/math][i][b] Berührorten[/b][/i][/color][/url] der Bewegungen:[/size][br][list][*]Es seien [math]\mathbf{H}_1=\mathbf\vec{g}_2 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_3[/math], [math]\mathbf{H}_2=\mathbf\vec{g}_3 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_1[/math] und [math]\mathbf{H}_3=\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2[/math] die zugehörigen [size=85][color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color][/size], [br]also [b]CASSINI[/b]-Quartiken oder in 2 [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] zerfallende [color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color].[/*][/list]Der Typ und die Lage dieser 3 [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] ist kennzeichnend dafür, ob ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] vorliegt oder nicht.[br]Wenn ein solches vorliegt, dann gilt die [color=#ff0000][i][b]Sechs-Ecks-Bedingung[/b][/i][/color] jeweils in den offenen zusammenhängenden [br]Teilgebieten der Ebene, welche von den [/size][size=85][b][size=85][color=#ff7700][i][b]Berührorten[/b][/i][/color][/size][/b] berandet werden.[br]Man prüft nun unschwer nach, dass mit den reellwertigen Funktionen [math]\mu_i(z):=\mathbf{H}_i\,\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)[/math], [math]i=1,2,3[/math] gilt:[br][list][*][math]\mu_1X_1+\mu_2X_2+\mu_3X_3=0[/math] [color=#cc0000][b]Linearkombination der 3 Vektorfelder[/b][/color][/*][/list]Die Funktionen [math]\mu_i[/math] hängen von der Normierung der Berührgeradenvektoren [math] \mathbf\vec{p}\left(z\right)[/math] und damit von der Wahl [br]der euklidischen Basis ab. Unser Ziel ist es, die [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Bedingung[/b][/i][/color] in moebiusgeometrisch invarianter Form aufzustellen. [br]Dazu setzen wir mit einer zunächst beliebigen [b]HERMITE[/b]schen Form [math]\mathbf{H}\ne0[/math]: [list][*] [math]\lambda_i\left(z\right):=\frac{\mathbf{H}_i\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)}{\mathbf{H}\mathbf\vec{p}\left(z\right)\bullet \mathbf\vec{p}\left(z\right)}[/math] , [math]i=1,2,3[/math][/*][/list]Es gilt wiederum [math]\lambda_1X_1+\lambda_2X_2+\lambda_3X_3=0[/math].[br]Um die Koeffizienten des [b]LIE[/b]-Produkts [math]\left[X_1,X_2\right]=\tau_1\cdot X_1-\tau_2\cdot X_2[/math] zu bestimmen, beachten wir, dass [math]\left[X_1,X_2\right][/math] [br]wiederum das Vektorfeld einer [color=#0000ff][i][b]W-Kurvenschar[/b][/i][/color] ist, die zugehörige Erzeugende ist [math]-\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right][/math] *) das - Zeichen wird unten erkärt![br][br]Wir ermitteln ähnlich wie oben die [color=#a61c00][b]Linearkombination der Vektorfelder [/b][/color][math]X_1,X_2,\left[X_1,X_2\right][/math], [br]in dem wir [math]-\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right][/math] anstelle von [math]\mathbf\vec{g}_3[/math] setzen:[br][list][*][math]\tau_1=-\frac{\left[\mathbf\vec{{g}}_1,\mathbf\vec{{g}}_2\right]\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\mathbf\vec{{g}}_2}{\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2}\,,\, \mbox{ }\tau_2=-\frac{\left[\mathbf\vec{{g}}_1,\mathbf\vec{{g}}_2\right]\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize\mathbf\vec{{g}}_1}{\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2}[/math] [/*][/list]Drei [color=#0000ff][b]MOEBIUS[/b][i][b]-W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] mit den paarweise reell-linear unabhängigen Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2,\mathbf\vec{g}_3[/math] bilden [br]genau dann ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color], wenn gilt:[br][list][*] [math]0=\left[ \mathbf\vec{g}_1,\tau_1\right]- \left[\mathbf\vec{g}_2,\tau_2\right] + \tau_1\frac{\left[ \mathbf\vec{g}_1,\lambda_2\right]}{\lambda_2}- \tau_2\frac{\left[ \mathbf\vec{g}_2,\lambda_1\right]}{\lambda_1}+\Bigg[\mathbf\vec{g}_2,\frac{\left[ \mathbf\vec{g}_1,\lambda_2\right]}{\lambda_2}\Bigg]-\Bigg[\mathbf\vec{g}_1,\frac{\left[ \mathbf\vec{g}_2,\lambda_1\right]}{\lambda_1}\Bigg][/math][/*][/list]Dabei ist [math]\lambda_i=\frac{\mathbf{H}_i}{\mathbf{H}}[/math] mit einer zunächst beliebigen [b]HERMITE[/b]schen Form [math]\mathbf{H}[/math].[br]Diese [color=#ff0000][i][b]Sechseck-Bedingung[/b][/i][/color] für 3 [color=#0000ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] in der [b]MOEBIUS[/b]-Ebene folgt aus der [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/csj65wmn][color=#ff0000][u][i][b]Sechseck-Bedingung[/b][/i][/u][/color][/url] [br]für 3 ebene Vektorfelder im Allgemeinen.[br][br]Setzt man nun [math]\mathbf{H}=\mathbf{H}_3[/math], so reduziert sich die Bedingung *) auf: [br][br][table][tr][td] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] [/td][td][math]0\equiv\frac{\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_3\right]}{\mathbf{H}_3}\frac{\left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_1\right]}{\mathbf{H}_1}-\frac{\left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_3\right]}{\mathbf{H}_3}\frac{\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_2\right]}{\mathbf{H}_2} \\\mbox{ }+\;\frac{\big[\,\mathbf\vec{g}_2,\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_2\right]\big]}{\mathbf{H}_2}-\frac{\big[\,\mathbf\vec{g}_1,\left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_1\right]\big]}{\mathbf{H}_1}\\\mbox{ }+\;\frac{\left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_1\right]\cdot \left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_1\right]}{{\mathbf{H}_1\,}^2}-\frac{\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_2\right]\cdot \left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_2\right]}{{\mathbf{H}_2\,}^2}[/math][/td][/tr][/table]Die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] ist Grundlage für die folgende Klassifizierung der möglichen [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Netze[/b][/i][/color] aus [color=#0000ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color]. [br]Zunächst gilt:[br]Ist eine [b]CASSINI[/b]-Form [math]\mathbf{H}=\mathbf\vec{\tilde{g}} \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{\tilde{\tilde{g}}}[/math] invariant unter einer infinitesimalen Bewegung [math]\mathbf\vec{g}\in \mathbf\mathcal{{G}}\,,\mathbf\vec{g}\ne\frak{o}[/math], [br]d.h. es ist [math]\left[\mathbf\vec{g},\mathbf{H}\right]=\lambda\cdot \mathbf{H}[/math] für ein [math]\lambda\in\mathbb{R}[/math], so zerfällt die [color=#ff7700][i][b]Quartik[/b][/i][/color]. [br]Denn eine irreduzible [b]CASSINI[/b]-[i][b]Quartik[/b][/i] kann nicht invariant unter einer [b]MOEBIUS[/b]-[color=#0000ff][i][b]W-Bewegung [/b][/i][/color]sein![br][br]Aus der Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] folgt nun: [br][list][*]Eine [i][b]notwendige Bedingung[/b][/i] für ein [color=#ff0000][i][b]Sechs-Eck-Gewebe[/b][/i][/color] aus [b]MOEBIUS[/b]-[color=#0000ff][i][b]W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] [br]ist das Zerfallen der 3 [b]CASSINI[/b]-[color=#ff7700][i][b]Quartiken[/b][/i][/color],[br]also der 3 [color=#ff7700][i][b]Berührorte[/b][/i][/color] [math]\mathbf\vec{g}_1 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_2\;, \mathbf\vec{g}_2 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_3\;,\mathbf\vec{g}_3 \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{g}_1[/math]. [/*][/list][color=#980000][u][i]Begründung:[/i][/u][/color] Für die Teilbarkeitsüberlegungen schreiben wir die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon], auf Hauptnenner gebracht, in der Form:[br][list][*][math]\mathbf{G}\cdot \mathbf{H}_1=\left[\mathbf\vec{g}_2,\mathbf{H}_1\right]\cdot\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf{H}_1\right]\cdot \mathbf{H}_2^2\cdot \mathbf{H}_3[/math] [/*][/list]Wäre z.B. [math]\mathbf{H}_1[/math] irreduzibel, so müßte [math]\mathbf{H}_1[/math] ein Teiler der rechten Seite sein; dies wäre nur möglich, wenn [math]\mathbf{H}_1[/math] invariant [br]unter [math]\mathbf\vec{g}_1[/math], oder [math]\mathbf\vec{g}_2[/math] wäre, da die Formen wesentlich verschieden sind.[/size]

[size=85]--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------[br][color=#980000][u][i][b]Ergänzungen[/b][/i][/u][/color]: *) Der Übergang von einer Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}\in \mathbf{\mathcal{G}}[/math] zum zugehörigen Vektorfeld [math]X_\mathbf\vec{g}[/math] ist ein [i]Anti-Isomorphismus[/i] [br]der [b]LIE[/b]-Algebren: [math]\left[\mathbf\vec{g}_1,\mathbf\vec{g}_2\right]\mapsto-\big[X_{\mathbf\vec{g}_1},X_{\mathbf\vec{g}_2}\big][/math]. Dies ändert an den Formeln nicht Wesentliches![br][br]Wie ändert sich der Quotient zweier [b]HERMITE[/b]scher Formen [math]\tau=\frac{\tilde{\mathbf{H}}}{\mathbf{H}}[/math] unter der Wirkung eines Vektorfeldes [math]X_\mathbf\vec{g}[/math] mit [br]zugehöriger Infinitesimalen [math]\mathbf\vec{g}\in \mathbf{\mathcal{G}}[/math]?[br]per definitionem gilt in [math]\mathbb{C}[/math]: [math]\left(X_\mathbf\vec{g}\,\tau\right)\left(z\right)=\frac{d}{dt}\tau\big(z\left(t\right)\big)\Bigg|_{t=0}\Bigg, [/math] wobei [math]z(t)[/math] eine Integralkurve von [math]X_\mathbf\vec{g}[/math] mit [math]z(0)=z[/math] ist[br]Für die Bahnkurven [math]\tau\big(z\left(t\right)\big)=\tau\Big(\exp\,t\mathbf\vec{g}\;\mathbf\vec{p}\left(z\right)\Big)[/math] der [color=#0000ff][i][b]W-Bewegungen[/b][/i][/color] gilt: [math]\mathbf\vec{p}'\left(t\right)=\big[\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{p}\left(t\right)\big][/math] für [math]\mathbf\vec{p}\left(t\right)=\exp t \mathbf\vec{g} \; \mathbf\vec{p}[/math].[br][br]Ist speziell [math]\mathbf{H}=\mathbf\vec{\tilde{g}} \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{\tilde{\tilde{g}}}[/math], eine [b]CASSINI[/b]-Form, so gilt für die infinitesimale Änderung unter [math]\exp\,t\mathbf\vec{g}[/math]:[br][list][*] [math]\Big[\mathbf\vec{g},\mathbf\vec{\tilde{g}} \begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{\tilde{\tilde{g}}}\Big]=\left[\mathbf\vec{\tilde{g}},\mathbf\vec{g}\right]\begin{tabular}{c}\wedge\\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \mathbf\vec{\tilde{\tilde{g}}}+\mathbf\vec{\tilde{g}}\begin{tabular}{c}\wedge \\ \tiny{h} \end{tabular}\normalsize \Big[\mathbf\vec{\tilde{\tilde{g}}},\mathbf\vec{g}\Big][/math] .[size=85][br][br][/size][/*][/list][/size]

[size=85]Die [i][b]Gleichung[/b][/i] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon]sieht reichlich kompliziert aus. Wir haben das [b]CAS[/b] von [color=#980000][i][b]geogebra[/b][/i][/color] zur Lösung nicht bemüht![br]Bisherige Versuche mit diesem Modul haben uns nicht ermutigt, vor allem, wenn [color=#0000ff][i][b]komplexe Zahlen[/b][/i][/color] im[br]Spiel waren.[br]Mit der leider nicht mehr verfügbaren [b]CAS[/b]-Software [color=#cc0000][i][b]DERIVE[/b][/i][/color] hatten wir eine ganz spezifische Erfahrung:[br]In allen Fällen, in denen nach unserer Zusammenstellung ein [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netz[/b][/i][/color] aus [b]3[/b] [color=#0000ff][i][b]Möbius-W-Kurven-Scharen[/b][/i][/color][br]vorliegt, hat die Berechnung der Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] in [color=#00ff00][b]Sekunden-Bruchteilen[/b][/color] [b]0[/b] ergeben![br]Wir hatten die Formel in 3 Teile zerlegt, und es erwies sich, dass je nach vorliegendem Fall, unterschiedliche Teile [br]der Formel alleine schon 0 ergaben.[br]Wenn wir versuchsweise die Gleichung zur Kontrolle für [b]3[/b] [color=#0000ff][i][b]Möbius-W-Kurvenscharen[/b][/i][/color] berechnen lassen wollten, [br]die in unserer Übersicht nicht als Lösung angegeben wird, ergaben sich meist nicht-enden-wollende Rechenzeiten, [br]oder manchmal nach sehr langen Rechenzeiten komplizierte Terme in [math]x,y[/math] mit hohen Potenzen.[br][br]Der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color], also der Ort, in welchem sich [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] aus 3 [color=#ff0000][i][b]Kreischaren[/b][/i][/color] berühren, dürfte immer bei der Suche[br]nach [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzen[/b][/i][/color] aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] eine wichtige Rolle spielen.[br]Man schaue sich daraufhin die [math]\hookrightarrow[/math] "[color=#0000ff][u][i][b][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#chapter/588654]Neuen 6-Eck-Netze[/url][/b][/i][/u][/color]" aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] an, die weder [color=#0000ff][i][b]Möbius-W-Scharen[/b][/i][/color] sind,[br]noch zu den bisher bekannten [color=#ff7700][i][b]Netzen[/b][/i][/color] gehören.[br]Auch bei dem [math]\hookrightarrow[/math] "[url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/Ug7ekXH8][u][color=#0000ff][i][b]besonderen 6-Eck-Netzen[/b][/i][/color][/u][/url]" aus [color=#ff0000][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] von [b]W. Wunderlich[/b] spielt der [color=#ff7700][i][b]Berührort[/b][/i][/color] eine zentrale Rolle:[br]Die [color=#ff0000][i][b]Kreise[/b][/i][/color] sind [color=#666666][i][b]Einhüllende[/b][/i][/color], [color=#999999][i][b]doppelt-berührende[/b][/i][/color] [color=#ff0000][i][b]Kreise [/b][/i][/color]von [i][b]2-teiligen[/b][/i] [color=#ff7700][i][b]bizirkularen Quartiken[/b][/i][/color].[/size]

[size=85]Wir haben die [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Bedingung[/b][/i][/color] [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] [math]\hookrightarrow[/math] in [u][url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb#material/pwbq8svp][color=#cc0000][b]mathematica[/b][/color] übersetzt und damit die Fälle überprüft[/url][/u]:[br]es bestätigt sich die Erfahrung, die wir mit [color=#cc0000][i][b]DERIVE[/b][/i][/color] hatten: in den Fällen, in welchen nach unserer Übersicht[br][color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netze[/b][/i][/color] vorliegen, ergab die Gleichung [icon]/images/ggb/toolbar/mode_zoomin.png[/icon] in allerkürzester Zeit [b]0[/b].[br]Die Kontrolle in anderen Situationen führte stets zu fast endlosen Rechenzeiten, und - falls die Rechnungen sich in endlicher [br]Zeit durchführen ließen - zu sehr langen Termen mit hohen Potenzen in [math]x[/math] und [math]y[/math].[br]Leider fanden wir in den [b]CAS-[/b]Rechnungen keine Hinweise, die es erlaubten, einfachere [color=#0000ff][i][b]geometrische[/b][/i][/color] Gründe für das[br]Vorliegen eines [color=#ff7700][i][b]6-Eck-Netzes[/b][/i][/color] abzulesen![br][/size]