Ausgehend von einem Sechseck kann durch fortgesetzte Verdopplung der Seitenanzahl des Vielecks der Umkreis eines Kreises immer besser angenähert werden.[br]Archimedes berechnete auf diese Weise einen Näherungswert für Pi, indem er den Kreis durch ein 96-Eck annäherte.[br]Mit Hilfe der Tabellenkalkulation kann heutzutage ein Näherungswert für Pi einfacher und schneller ermittelt werden.

In den [b][color=#85200c]Dreieck CDM[/color][/b] gilt: [math]\rho_{n}^{2}=r^2-\left(\frac{s_n}{2}\right)^2[/math][br] [math]\rho_n=\sqrt{r^2-\left(\frac{s_n}{2}\right)^2}[/math][br]Weiters gilt in dem [b][color=#38761d]Dreieck ABC[/color][/b] (Kathetensatz):[br] [math]s_{2n}^2=2r\cdot\left(r-\rho_n\right)[/math][br] [math]=2r\cdot\left(r-\sqrt{r^2-\left(\frac{s_n}{2}\right)^2}\right)=2r\cdot\left(r-r\cdot\sqrt{1-\left(\frac{s_n}{2r}\right)^2}\right)=r^2\cdot\left(2-2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{s_n}{2r}\right)^2}\right)[/math][br] [math]s_{2n}=r\cdot\sqrt{2-2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{s_n}{2r}\right)^2}}=r\cdot\sqrt{2-\sqrt{4-\left(\frac{s_n}{r}\right)^2}}[/math][br] [math]\mathbf{s_{2n}=r\cdot\sqrt{2-\sqrt{4-\left(\frac{s_n}{r}\right)^2}}}[/math][br]Für r = 1 folgt: [math]\mathbf{s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4 - s_n^2}}}[/math][br][br]Mit Hilfe dieser Formel kann eine [b]Tabellenkalkulation [/b]aufgebaut werden, um eine [b]untere Schranke[/b] für die [b]Zahl Pi[/b] zu berechnen.

Mit dem obigen Applet kann also eine untere Schranke für die Zahl Pi berechnet werden. Auf analoge Art kann durch ein umschriebenes n-Eck auch eine [b]obere Schranke für Pi[/b] berechnet werden.

In der obigen Abbildung kann man erkennen (Strahlensatz:[br] [math] \frac{\rho_n}{r}=\frac{s_n}{t_n}[/math][br] [math]t_n=\frac{r\cdot s_n}{\rho_n}=\frac{r\cdot s_n}{\sqrt{r^2-\frac{s_n^2}{4}}}=\frac{r\cdot s_n}{\sqrt{\frac{4r^2-s_n^2}{4}}}=\frac{2r\cdot s_n}{\sqrt{4r^2-s_n^2}}[/math][br] [math]\mathbf{t_n = \frac{2r\cdot s_n}{\sqrt{4r^2-s_n^2}}}[/math][br]Mit dieser Formel kannst du schrittweise der Umfang U des [b][color=#ff0000]umschriebenen Vielecks[/color][/b] berechnen und somit [b]obere Schranken für Pi[/b] bestimmen.

Aus den Berechnungen weiter oben wissen wir für den Fall r = 1:[br][br] [math]\mathbf{s_{2n} = \sqrt{2-\sqrt{4 - s_n^2}}}[/math] und [math]\mathbf{u_{2n} = 2n\sqrt{2-\sqrt{4 - s_n^2}}}[/math] bzw. [math]\mathbf{\frac{u_{2n}}{2r} = \frac{u_{2n}}{2} = n\sqrt{2-\sqrt{4 - s_n^2}}} \approx \pi[/math].[br][br]Damit kann folgende Tabelle erstellt werden:[br][br][table][br][tr][td][b]n[/b][/td][td][math]\mathbf{s_n}[/math][b][/b][/td][td][math]\mathbf{\frac{u_n}{2\cdot1} = n \cdot s_n \approx \pi}[/math][/td][/tr][br][tr][td]6[/td][td]1[/td][td][math]3 \cdot 1 = 3[/math][/td][/tr][br][tr][td]12[/td][td][left][math]\sqrt{2-\sqrt{4 - 1}} = \sqrt{2-\sqrt{3}} [/math] [/left][/td][td][math]6 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} \approx 3,1058[/math][/td][/tr][br][tr][td]24[/td][td][math]\sqrt{2-\sqrt{4 - \left(2-\sqrt{3} \right)}} = \sqrt{2-\sqrt{2 + \sqrt{3}} [/math][/td][td][math]12 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2 + \sqrt{3}}} \approx 3,1326[/math][/td][/tr][br][tr][td]48[/td][td] [math]\sqrt{2-\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}[/math][br][/td][td][math]24 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}}} \approx 3,1394[/math][/td][/tr][br][tr][td]...[/td][td]...[/td][td]...[/td][/tr][br][tr][td]384[/td][td]...[/td][td][math]192 \cdot \sqrt{2-\sqrt{2 + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}}} \approx 3,1416[/math][/td][/tr][br][tr][td]...[/td][td]...[/td][td]...[/td][/tr][br][tr][td][/td][td][/td][td][math]\mathbf{\pi=\lim_{k\text{\rightarrow}\infty} \left( 6\cdot 2^{k-2} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+ \sqrt{2 + ... + \sqrt{2+\sqrt{3}}}}} \right)}[/math] [br] mit k Wurzelzeichen (k>1)[/td][/tr][br][/table][br][size=85][i](Laub, J. et al. (1977): Lehrbuch der Mathematik. 2. Band. Arbeitsbuch für die 6. Klasse. Wien: hpt.)[/i][/size]