[b]Aufgabenstellung[/b][br]Gib zu P(0) = P[sub]0[/sub] = 40 und P(1) = 80 mit der Obergrenze K = 1000[br]a) die Funktionsgleichung für kontinuierliches logistisches Wachstum,[br]b) die rekursive Darstellung für diskretes logistisches Wachstum an.[br][br][i]Lösung[/i][br]a) Kontinuierliches logistisches Wachstum: [math]P\left(t\right)=\frac{K}{1+\left(\frac{K}{P_0}-1\right)\cdot e^{-a\cdot t}}[/math][br] Mit [math]\frac{K}{P_0}-1=\frac{1000}{80}-1=24[/math] folgt [math]P\left(1\right)=\frac{1000}{1+24\cdot e^{-a\cdot t}}=80[/math] und daraus ergibt sich a ≈ 0,736.[br] [math]P\left(t\right)=\frac{1000}{1+24\cdot e^{-0,736 \cdot t}}[/math][br]Diese [b][color=#0000ff]Funktion [/color][/b]beschreibt ein kontinuierliches logistisches Wachstum, das durch die beiden Werte [b]P(0)[/b] und [b]P(1)[/b] festgelegt ist.[br][br]b) Rekursive Darstellung für diskretes logistisches Wachstum: [math]P\left(1\right)=P\left(0\right)+q\cdot P\left(0\right)\cdot\left(1000-P\left(0\right)\right)[/math][br] [math]80=40+q\cdot40\cdot960[/math][br] [math]q\approx0,00104[/math][br] [math]$P\left( n+1\right)=P\left(n\right) + 0,00104 \cdot P\left(n\right)\cdot \left(1000-P\left(n\right)\right)$[/math][br]Diese rekursive Darstellung beschreibt das diskrete logistische Wachstum, das durch die beiden Werte [b]P(0)[/b] und [b]P(1)[/b] festgelegt ist.[br][br][i]Bemerkung:[/i] Die [b][color=#6aa84f]Funktion[/color][/b], die als Lösung der Differentialgleichung [math]P'\left(t\right)=q\cdot P\left(t\right)\cdot\left(K-P\left(t\right)\right)[/math] mit demselben Parameter q mit a = q·K hervorgeht, hat nicht den Funktionswert P(1) = 80.[br]