Die Höhe h einer Kugel (in m), die senkrecht nach oben geschossen wird, lässt sich in Abhängigkeit von der Zeit t (in s) mit dem Funktionsterm [math]h\left(t\right)=-5t^2+v_0\cdot t+h_0[/math] bestimmen. Dabei ist [math]h_0[/math] die Anfangshöhe und [math]v_0[/math]die Anfangsgeschwindigkeit.
Bestimme den Funktionsterm für die Flughöhe einer Kugel, bei der nach [math]2s[/math] eine Höhe von [math]22m[/math] und nach [math]3s[/math] eine Höhe von [math]17m[/math] gemessen wird. [br][i][u]Hinweis:[/u][br]Entnimm der Aufgabenstellung zwei Punkte, durch die der Graph der Funktion festgelegt wird und setze diese in den Funktionsterm ein. Löse anschließend das Gleichungssystem mit 2 Unbekannten. [/i]
[br]Aus der Aufgabenstellung lassen sich folgende zwei Punkte entnehmen: [math]P\left(2\mid22\right)[/math] und [math]Q\left(3\mid17\right)[/math]. Einsetzen in den Funktionsterm [math]h\left(t\right)[/math] ergibt folgendes Gleichungssystem: [br] (l) [math]22=-20+v_0\cdot2+h_0[/math][br] (ll) [math]17=-45+v_0\cdot3+h_0[/math][br]Durch Lösen des Gleichungssystems erhält man: [br][math]v_0=20[/math][br][math]h_0=2[/math][br]Also ergibt sich folgender Funktionsterm: [br][math]h\left(t\right)=-5t^2+20t+2[/math]
Bestimme die maximale Höhe, die diese Kugel erreicht rechnerisch. Überprüfe dein Ergebnis anschließend anhand des Graphen.
[br]Gesucht ist die y-Koordinate des Scheitelpunkts. [br]Durch quadratische Ergänzung formt man die gegebene Normalform in Scheitelpunktform um: [br][math]h\left(t\right)=-5t^2+20t+2=-5\left(t^2-4t-\frac{2}{5}\right)=-5\left(t^2-4t+4-4-\frac{2}{5}\right)=-5\left(t-2\right)^2+22[/math][br]Es ergibt sich also folgender Scheitel: [br][math]S\left(2\mid22\right)[/math][br]Die maximale Höhe der Kugel beträgt also [math]22m[/math].[br]