Ufopa - Profmat 2025 - Geometria Analítica
Este livro reúne as atividades produzidas pelos mestrandos da turma de 2025 do Profmat/Ufopa durante o componente curricular de Geometria Analítica.
Table of Contents
- Coordenadas
- EXPLORANDO CURVAS EM COORDENADAS POLARES
- coordenadas triangulares
- Coordenadas Cilíndricas
- Vetores
- Vetores
- Soma com coordenadas.
- Relógio vetorial
- Retas e Planos
- Coeficiente Angular
- Equação da reta
- Equação da reta dado um ponto e um vetor
- Posições relativas entre planos
- Posições relativas entre duas retas
- Cônicas
- O DESPERTAR DO HEROI
- DOMINANDO O VOO
- Quádricas
- Elipsoide
- Hiperboloide
- Paraboloide
- SUBINDO A MONTANHA
- Nave
- VASO
- Curvas e Superfícies Parametrizadas
- Cicloide
- A geometria do DNA
- Entre Esferas e Cilindros: Explorando a curva de Viviani
- Transformações Geométricas
- Composição de transformações no plano.
- Matriz de Rotação
- Elipsoide+rotação
- ATIVIDADE 1 DE GEOMETRIA ANALÍTICA
EXPLORANDO CURVAS EM COORDENADAS POLARES
[size=150]Essa atividade visa compreender como funções na forma [math]v=f\left(\theta\right)[/math] geram [b]diferentes curvas[/b] no plano polar e identificar [b]padrões visuais[/b].[br][br]C[u]OMO USAR ESTA CONSTRUÇÃO[/u]:[br][br][i]Modifique coeficientes e observe como o número de pétalas, simetria e formatos mudam.[/i][br][br][/size][br][br]
Construção 1
QUESTÃO 1:
Configure a Construção 1 fazendo [b]r = 0[/b] e [b]m =1 [/b]e selecione mostrar apenas uma das funções (seno ou cosseno). Modificando os valores do controle deslizante [b]n[/b] obtemos curvas denominadas [b][color=#ff00ff]rosas polares[/color][/b] por sua similaridade com [b][color=#ff00ff]flores [/color][/b]que possuem pétalas. No espírito desta comparação, que padrão você observa entre os [b]valores de n[/b] e o [b]número de "pétalas"[/b] dessas "flores"?
QUESTÃO 2:
Configure a Construção 1 fazendo [b]r =1[/b], [b]m = 1[/b] e [b]n = 1[/b] nos controles deslizantes, determinando[br]as equações w = 1 + 1 cos([b]θ) [/b]e t = 1 + 1 sen([b]θ)[/b]. Qual curva polar é obtida?
QUESTÃO 3:
Configure a Construção 1 fazendo [b]m = 1[/b] e [b]n = 1[/b] nos controles deslizantes e selecione exibir [b]Eixos[/b]. Modificando os valores do controle deslizante [b]r[/b], observe e responda: [b]seno[/b][br]e [b]cosseno [/b]na função geram curvas semelhantes, mas:[br]
QUESTÃO 4:
Sabendo que [i]n[/i] determina diretamente o número de pétalas de uma rosa polar, ou seja, se [i]n[/i] é ímpar, a curva tem [i]n[/i] pétalas e se n é par a curva tem [i]2n[/i] pétalas. Configure a Construção 1 fazendo [b]r = 0[/b], [b]m = 1[/b] e [b]n = 4[/b], determinando assim as funções w = 0 + 1 cos(4[b]θ) [/b]e t = 0 + 1 sen(4[b]θ)[/b].Quantas pétalas aparecem na rosa polar de cada função? [br][i][size=85]Observação: Você pode selecionar "mostrar função seno" ou "mostrar função cosseno" separadamente.[/size][/i]
QUESTÃO 5:
Baseado na questão anterior, responda: Se [b]n = 30[/b] e [b]n = 21[/b], quantas pétalas a rosa polar terá respectivamente.
Vetores
Regra do Polígono (Vetores)
Atividade: Observe a construção e mova os pontos e observe o que muda. Faça u +v e depois v + u.
[i]Responda: O vetor resultante depende da ordem?[/i][list][/list][br]Conceito-chave: comutatividade (u + v = v + u)
Coeficiente Angular
Atividade 1
Na atividade coeficiente angular clique no botão mover e movimente os pontos A e B.[br][br]O que acontece com o valor de m?[br]Em seguida movimente também o ponto D e verifique o ocorre com o valor m2.[br]Em seguida responda as questões.
Coeficiente angular
Questão 01
[list=1][*]Quando a reta está crescendo, o coeficiente angular é:[/*][/list]
Questão 02
[list=1][*]Quando a reta está decrescendo:[br][/*][br][/list][br]
Questão 03
Por que não existe m na reta vertical?[br][br][br]
Questão 04
Qual o valor de m na reta horizontal?
Questão 05
Explique com suas palavras:[br][br]O que significa o coeficiente angular?[br][br]
O DESPERTAR DO HEROI
Missão de Treinamento: O Despertar do Heroi
[b]Após descobrir que possui um poder extraordinário de lançar rajadas de energia, um jovem herói foi recrutado para iniciar seu treinamento na Academia dos Guardiões.[br][br]Antes de enfrentar vilões de verdade, ele precisa dominar seus poderes com precisão. Para isso, os instrutores prepararam um campo de treinamento com diversos alvos espalhados em diferentes posições. Cada rajada lançada pelo herói percorre uma trajetória em forma de parábola, e somente conhecendo as propriedades dessa curva será possível atingir o alvo corretamente.[br][br]Sua missão será analisar as trajetórias, determinar suas equações, identificar seus elementos principais (vértice, foco, diretriz, eixo de simetria e demais características) e fazer os ajustes necessários para que cada disparo acerte exatamente o centro do alvo.[br][br]O sucesso da missão depende dos seus conhecimentos em Geometria Analítica. Mostre que você está preparado para ajudar o novo herói a controlar seus poderes e concluir seu treinamento com excelência![/b][br]
Clique em REINICIAR para iniciar uma nova tentativa. Em seguida, ajuste os controles deslizantes dos coeficientes da função e clique em LANÇAR para observar a trajetória da rajada lançada pelo herói em direção ao alvo.
Efeito do coeficiente a
Ao movimentar o controle deslizante correspondente ao coeficiente a, mantendo os valores de b e c fixos, o que acontece com o gráfico da parábola?
Efeito do coeficiente b
Ao modificar o coeficiente b, mantendo a e c fixos, o que acontece?
Observando a concavidade
Observe cuidadosamente a parábola exibida.[br][br][b]Quando a>0, pode-se afirmar que:[/b]
Elipsoide
Mova os controles deslizantes a, b e c para a=3, b=2 e c=1 e responda as quatro questões abaixo.
1) Qual é a equação dessa elipsoide?
2) Qual das figuras abaixo NÃO representa uma elipsoide?[br]
3) Mova os comandos deslizantes para a=3 e b=3. O que acontece com a figura? E se os três denominadores ficam iguais que figura forma?
4) Qual é o maior eixo dessa superfície?
Cicloide
Seja Curva(t - sen(t), 1 - cos(t), t, 0, 8pi), curva parametrizada da cicloide, responda as questões.
Questão 1
[b][i]O movimento do ponto A representa:[/i][/b]
Questão 2
[b][i]A trajetória formada pelo ponto A se parece com:[/i][/b]
Questão 3
[b][i]Sobre a coordenada y(t), é correto afirmar que:[/i][/b]
Questão 4
[b][i]O ponto toca o eixo x quando:[/i][/b]
Questão 5
[b][i]Ao observar a animação no GeoGebra, percebe-se que o ponto:[/i][/b]
Questão 6
[b][i]Na parametrização da cicloide, o parâmetro t representa principalmente:[/i][/b]
Questão 7
[b][i]Ao substituir a parametrização da curva por:[br]x(t) = t - 2.sen(t)[br]y(t) = 1 - 2.cos(t)[br]a curva:[/i][/b]
Questão 8
[b][i]Uma das vantagens da parametrização é:[/i][/b]
Questão 9
[b][i]Os pontos pontuados da cicloide indicam:[/i][/b]
Questão 10
[b][i]As curvas parametrizadas são importantes porque:[/i][/b]
Composição de transformações no plano.
Observando no gráfico acima os movimentos de rotação, translação e reflexão. Analise as questões a seguir
O que acontece com o comprimento dos lados após a rotação?
Os ângulos internos do triângulo são alterados pela rotação?
A rotação altera a forma ou o tamanho do triângulo?
Quais as propriedades geométricas são preservadas pela rotação?
O que a translação faz com a figura?
Como as coordenadas dos vértices são alteradas por uma translação de vetor (2,1)?
Quais propriedades são preservadas pela translação?[br]
O que acontece com um ponto (x,y) após a reflexão na reta y=x?
A reflexão preserva a medida dos lados?
O que acontece com a orientação da figura após a reflexão?
Porque a transformação resultante é afim?