Geometrie-Software SoSe 2020

Andreas Lindner, 29/01/2020

Indholdsfortegnelse

  1. Analytische Geometrie
    1. Winkel zwischen Vektoren
    2. Berechnung des Vektorprodukts
    3. Schnitt zweier Geraden
    4. Abstand eines Punktes von einer Geraden
    5. Berechnung des Abstands Punkt - Gerade
    6. Ebene in Parameterform
    7. Ebene in Parameterform
    8. Ebene in Normalvektorform - 1
    9. Ebene in Normalvektorform - 2
    10. Das Spurdreieck
    11. Schnitt Gerade - Ebene
    12. Schnitt zweier Ebenen
    13. Schnitt von 3 Ebenen
    14. Kreuzende Gerade: Kürzester Abstand zwischen zwei Geraden
  2. Vektoren - Anwendungen
    1. Kräftegleichgewicht
    2. Kräftegleichgewicht und Winkelberechnung
    3. Zerlegung eines Vektors in zwei Komponenten
    4. Straßenlaterne
    5. Straßenbeleuchtung
    6. Die schiefe Ebene
    7. Flugzeuge am Rollfeld, Teil 1
    8. Flugzeuge am Rollfeld, Teil 2
    9. Drehimpuls und Drehmoment
    10. Drehimpuls
  3. Kegelschnitte - Allgemeines
    1. Kegelschnitte in Scheitellage
    2. Namensgebung der Kegelschnitte
    3. Satellitenbahnen
    4. Weitere Materialien aus Dimensionen Mathematik 7
    5. Kegelschnitte: Namensgebung
  4. Die Ellipse
    1. Ellipse - Gärtnerkonstruktion
    2. Die Ellipsenkonstruktion
    3. Fadenkonstruktion für die Ellipse
    4. Die Papierstreifenkonstruktion und der Ellipsenzirkel
    5. Die Affinität zwischen Kreis und Ellipse
    6. Papierstreifenkonstruktion
    7. Der Ellipsenzirkel
    8. Dandelin'sche Kugeln
    9. Ebener Schnitt eines Zylinders
    10. Ellipse running
    11. Doblegant el paper per mostrar l'envolupant
    12. Ellipse: Zur Berechnung der Krümmungskreise
    13. Ellipse konstruieren
  5. Hyperbel
    1. Die Hyperbelkonstruktion
    2. Fadenkonstruktion der Hyperbel
    3. Die Hyperbel: punktweise Konstruktion
    4. Hyperbel konstruieren
  6. Parabel
    1. Die Parabelkonstruktion
    2. Die Parabelkonstruktion - Variante
    3. Parabelzeicheninstrument
    4. Fadengrafik einer Parabel
  7. Kegel und Ebene
    1. Schnitt Kegel - Ebene
    2. Dandelin'sche Kugeln
    3. Kegelschnitt nach einer Parabel
  8. Zylinder und Ebene
    1. Ebener Schnitt eines Zylinders
    2. Let's have a drink

1.

Analytische Geometrie

  • 1. Winkel zwischen Vektoren
  • 2. Berechnung des Vektorprodukts
  • 3. Schnitt zweier Geraden
  • 4. Abstand eines Punktes von einer Geraden
  • 5. Berechnung des Abstands Punkt - Gerade
  • 6. Ebene in Parameterform
  • 7. Ebene in Parameterform
  • 8. Ebene in Normalvektorform - 1
  • 9. Ebene in Normalvektorform - 2
  • 10. Das Spurdreieck
  • 11. Schnitt Gerade - Ebene
  • 12. Schnitt zweier Ebenen
  • 13. Schnitt von 3 Ebenen
  • 14. Kreuzende Gerade: Kürzester Abstand zwischen zwei Geraden

1.1.

Winkel zwischen Vektoren

Mit der Zuweisung [b]::=[/b] wird ein Befehl mit noch nicht definierten Parametern erklärt.[br][br][b]Beispiel[/b][br]Die Berechnung des Winkels φ zwischen zwei Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math] erfolgt mit der Formel [math]φ = arccos \frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{a}|·|\vec{b}| }[/math].[br]Bei der Definition der Formel sind die Paramter a und b noch nicht definiert. u und v werden anschließend als Vektoren definiert und der Winkel zwischen u und v berechnet.
Winkel zwischen Vektoren
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

1.2.

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1.13.

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1.14.

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2.

Vektoren - Anwendungen

  • 1. Kräftegleichgewicht
  • 2. Kräftegleichgewicht und Winkelberechnung
  • 3. Zerlegung eines Vektors in zwei Komponenten
  • 4. Straßenlaterne
  • 5. Straßenbeleuchtung
  • 6. Die schiefe Ebene
  • 7. Flugzeuge am Rollfeld, Teil 1
  • 8. Flugzeuge am Rollfeld, Teil 2
  • 9. Drehimpuls und Drehmoment
  • 10. Drehimpuls

2.1.

Kräftegleichgewicht

Die Kraft [math]\vec{F_3}[/math] wirkt der resultierenden Kraft von [math]\vec{F_1}[/math] und [math]\vec{F_2}[/math] entgegen; die 3 Kräfte befinden sich im Gleichgewicht.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Lage der Punkte an der ersten und zweiten Federwaage![br]Verschiebe bei Bedarf die Konstruktion mit dem Punkt M! [br][br]Rechne nach, ob die Summe von [math]\vec{F_1}[/math] und [math]\vec{F_2}[/math] auch tatsächlich [math]- \vec{F_3}[/math] entspricht
– Andreas Lindner

2.2.

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2.10.

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3.

Kegelschnitte - Allgemeines

  • 1. Kegelschnitte in Scheitellage
  • 2. Namensgebung der Kegelschnitte
  • 3. Satellitenbahnen
  • 4. Weitere Materialien aus Dimensionen Mathematik 7
  • 5. Kegelschnitte: Namensgebung

3.1.

Kegelschnitte in Scheitellage

– Dimensionen

3.2.

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3.3.

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3.4.

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3.5.

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4.

Die Ellipse

  • 1. Ellipse - Gärtnerkonstruktion
  • 2. Die Ellipsenkonstruktion
  • 3. Fadenkonstruktion für die Ellipse
  • 4. Die Papierstreifenkonstruktion und der Ellipsenzirkel
  • 5. Die Affinität zwischen Kreis und Ellipse
  • 6. Papierstreifenkonstruktion
  • 7. Der Ellipsenzirkel
  • 8. Dandelin'sche Kugeln
  • 9. Ebener Schnitt eines Zylinders
  • 10. Ellipse running
  • 11. Doblegant el paper per mostrar l'envolupant
  • 12. Ellipse: Zur Berechnung der Krümmungskreise
  • 13. Ellipse konstruieren

4.1.

Ellipse - Gärtnerkonstruktion

Infos zur Gärtnerkonstruktion
Die [b]Gärtnerkonstruktion[/b] ist eine Methode, um einen [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis]Kreis[/url] oder eine [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Ellipse]Ellipse[/url] zu zeichnen. Die Bezeichnung geht offenbar darauf zurück, dass sich so mit einfachen Hilfsmitteln im Garten ein Beet in Form einer Ellipse anlegen lässt.[sup][url=https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%A4rtnerkonstruktion#cite_note-1][1][/url][/sup][br]Ein Kreis wird festgelegt durch seinen Mittelpunkt und Radius, eine Ellipse durch ihre beiden [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Brennpunkt_(Geometrie)]Brennpunkte[/url] und die Länge der großen Halbachse (meist als [i]a[/i] bezeichnet) oder die Längen der großen (a) und kleinen (b) Halbachse.[br][br]In den Beschreibungen zur Ellipsenkonstruktion wird jeweils ein Faden der Länge [i]2a[/i] mit den Enden an je einen Nagel gebunden. Es ist ebenso möglich, einen Faden der Länge [i]2a+2e[/i] zu einer Schlaufe zu binden und diese um beide Nägel herumzulegen. Dies benötigt einen viel längeren Faden, birgt aber den Vorteil, dass die ganze Ellipse ohne abzusetzen zu zeichnen ist. Die Länge des Fadens [i]2a+2e[/i] ist dabei einfach abzugreifen, indem man das Seil von Punkt [i]B[/i] (vergleiche Bild unten) um [i]F1[/i] und wieder zurück spannt und zusammenknotet[br][br]Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%A4rtnerkonstruktion
Video (https://www.youtube.com/watch?v=7UD8hOs-vaI)
Das Applet stellt die sogenannte [b]"Gärtnerkonstruktion"[/b] dar.[br]Die Ellipse ist die Menge aller Punkte X, die von 2 festen Punkte F[sub]1[/sub] und F[sub]2[/sub] den konstanten Abstand 2 a haben.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Versuche die Konstruktion schrittweise nachzuvollziehen.
– Andreas Lindner, Barbara Lichtenegger

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5.

Hyperbel

  • 1. Die Hyperbelkonstruktion
  • 2. Fadenkonstruktion der Hyperbel
  • 3. Die Hyperbel: punktweise Konstruktion
  • 4. Hyperbel konstruieren

5.1.

Die Hyperbelkonstruktion

Das Applet zeigt den Konstruktionsweg einer Hyperbel mit Krümmungskreisen.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Setze die Konstruktion mit dem linken Button in der Naviagtionsleiste an den Anfang zurück.[br]Gehe die Konstruktion in Einzelschritten durch und erläutere die Vorgangsweise.
– Andreas Lindner

5.2.

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5.3.

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5.4.

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6.

Parabel

  • 1. Die Parabelkonstruktion
  • 2. Die Parabelkonstruktion - Variante
  • 3. Parabelzeicheninstrument
  • 4. Fadengrafik einer Parabel

6.1.

Die Parabelkonstruktion

Das Applet zeigt den Konstruktionsweg einer Parabel mit Krümmungskreisen.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Setze die Konstruktion mit dem linken Button in der Naviagtionsleiste an den Anfang zurück.[br]Gehe die Konstruktion in Einzelschritten durch und erläutere die Vorgangsweise.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

6.2.

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6.3.

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6.4.

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7.

Kegel und Ebene

  • 1. Schnitt Kegel - Ebene
  • 2. Dandelin'sche Kugeln
  • 3. Kegelschnitt nach einer Parabel

7.1.

Schnitt Kegel - Ebene

Ein (Doppel)Kegel, der von einer Ebene geschnitten wird, ergibt - je nach Lage der Ebene - als Schnittkurve eine[br][list][br][*]Ellipse[br][*]Parabel [br][*]Hyperbel.[br][/list][br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere die Koeffizienten a, b, c und das konstante Glied d der Ebene a·x + b·y + c·z = d und beobachte die Änderung der Schnittkurve.[br]Du kannst auch die Lage des Kegels durch Verschieben der Punkte A und B verändern.
Andreas Lindner
– Andreas Lindner

7.2.

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7.3.

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8.

Zylinder und Ebene

  • 1. Ebener Schnitt eines Zylinders
  • 2. Let's have a drink

8.1.

– Andreas Lindner

8.2.

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