lineare Gleichungssysteme: Lernzirkel
In diesem Buch könnt ihr verschiedene Möglichkeiten erlernen, wie man lineare Gleichungssysteme (mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten) löst. Das Buch ist als Lernzirkel aufgebaut: Ihr startet also alle beim Einführungsproblem und erarbeitet dann in willkürlicher Reihenfolge verschiedene Möglichkeiten zur Lösung eines Gleichungssystems. [b]Arbeitet in kleinen Gruppen gemeinsam! Diskutiert viel und fragt die Lehrkraft, wenn ihr etwas nicht versteht! Navigiert durch das Buch über das Inhaltsverzeichnis, die im Text eingebetteten Hyperlinks oder über die Pfeile am Ende jeder Buchseite.[/b]
Table of Contents
- Problemstellung
- Das Problem mit der Wurst...
- Gleichung vs. Gleichungssystem
- Wiederholung: Gleichungen
- Definition und Beispiel: Gleichungssystem
- Lösen durch (systematisches) Raten
- systematisches Raten
- algebraische Lösungsverfahren
- Das Einsetzungsverfahren
- Das Gleichsetzungverfahren
- Das Additions- bzw. Subtratkionsverfahren
- graphisches Lösen
- graphisches Lösen
- Die Lösung des Problems
- Das Wurstproblem in der Sprache der Mathematik
- Anwenden der Lösungsverfahren
- gemischte Übungen
- einfachere Aufgaben
- anspruchsvollere Aufgaben
- Expertenaufgaben
- wiederholbare Aufgaben
- Zusatz: Gleichungssysteme mit 3 Variablen und 3 Gleichungen
- Lösungsverfahren
- Übungen
Das Problem mit der Wurst...
Das Problem:
Das Arbeitsblatt zum Lernzirkel kannst du dir hier herunterladen, falls du es nicht als Ausdruck erhalten hast!
Frau Gauß ist mit ihrem kleinen Sohn Carl an der Wurstbude. Da Carl noch zu klein ist, kann er noch keine Wurst essen - wohl aber das Brötchen.[br][br]Wie viel sollte der Wurstbudenbesitzer für ein blankes Brötchen verlangen, wenn er normalerweise für eine Wurst im Brötchen 1,20€ und für 2 Würste im Brötchen 2,10€ verlangt?
Auftrag
Überlegt euch gemeinsam, welche Strategie ihr zur Lösung dieses Problem wählen könntet! Beschreibt eure Idee kurz im folgenden Eingabefeld![br][br]Ihr könntet auf mehrere Ideen zur Lösung des Problems gekommen sein. Drückt auf "Antworten überprüfen" und lest euch die möglichen Ideen durch. Wählt dann die Idee aus, die am ehesten eurer Idee entspricht und macht mit der entsprechenden Seite hier im Geogebra-Buch weiter!
Wiederholung: Gleichungen
Wie kann man sich eine Gleichung vorstellen?
Du solltest noch wissen: Gleichungen kann man quasi als "Waage" sehen: Die Linke und die Rechte Seite einer Gleichung sollen also gleich sein - wie bei einer Waage im Gleichgewicht. Wenn du nochmal eine kurze Auffrischung zum Thema "Gleichungen und Waagen" brauchst, schau dir das folgende Video und das Applet darunter an. Ansonsten kannst du auf der nächsten Seite zur [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/xah2n4rr]Definition: Gleichungssystem[/url] weitermachen.
Klicke auf die grüne Schaltfläche "Schritt ..." ! Vollziehe dabei den Zusammenhang zwischen der Waage und den Gleichungen nach!
systematisches Raten
Wie errate ich eine Lösung?
Um die Lösung eines Gleichungssystems zu erraten musst du dir nur konkrete Werte für die Variablen überlegen und diese in alle Gleichungen einsetzen. Sobald bei allen Gleichungen wahre Aussagen stehen, hast du deine Lösung gefunden!
Was heißt "systematisch?"
Du solltest aber nicht willkürlich Zahlen für die Variablen einsetzen, sondern gezielt vorgehen. Überlege dir anhand des Problems, welches du lösen willst:[br][br][list][*]In welchem Bereich liegt die Lösung vermutlich? Positive Zahlen? Negative Zahlen? Eher "große" Zahlen? ...[/*][*]Welche "Art" von Zahl ist wahrscheinlich? Ganze Zahl? Dezimalzahl? ...[/*][/list][br]Sobald du eine Vorauswahl getroffen hast, kannst du mit dem Ausprobieren loslegen. Achte beim Ausprobieren aber auch ein wenig auf die einzelnen Gleichungen: Lohnt es sich z.B. eine noch größere Zahl einzusetzen, wenn man schon sieht, dass das Ergebnis dann noch weiter vom gewünschten Ergebnis ist?
Beispiel im Video
Test: Kann ich ein Gleichungssystem durch Raten lösen?
Versuche das folgende Gleichungssystem durch raten zu lösen:[br][br][center][size=150]I 3x+y = 11[br]II 2x-y = -1[br][/size][/center]Überprüfe deine Lösung!
Beschreibe Probleme dieses Verfahrens!
Fertig?
Mach mit dem Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655630]algebraische Lösungsverfahren[/url]" oder "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655635]graphisches Lösen[/url]" weiter, wenn du mit dieser Seite fertig bist und alles verstanden hast.[br][br]Wenn du beide Kapitel bereits bearbeitet hast, kannst du mit "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/657168]Die Lösung des Problems[/url]" weitermachen.
Das Einsetzungsverfahren
In diesem Kapitel lernt ihr verschiedene [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655630]algebraische Lösungsverfahren[/url] zum Lösen von Gleichungssystemen kennen. Je nach Gleichungsystem ist mal das eine Verfahren und mal das andere Verfahren besser geeignet. Am besten beherrscht ihr alle 3![br][br]Bearbeitet (in willkürlicher Reihenfolge) die drei Seiten[br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wpbecrqb]Einsetzungsverfahren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/qpnx7g4j]Gleichsetzungverfahren[/url][br][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wfpjguwx]Additions- bzw. Subtratkionsverfahren[/url][br][/*][/list]
Das Einsetzungsverfahren - Vollziehe folgende Geschichte nach:
Versuche den Zusammenhang zwischen der Geschichte über die zwei Waagen und dem folgendem Lösungsverfahren (dem „Einsetzungsverfahren“) zu finden:
Hast du das Einsetzungsverfahren verstanden?
Schreibe in folgendes Eingabefeld eine [u]stichpunktartige[/u] Anleitung für das Einsetzungsverfahren. Ergänze auf deinem Arbeitsblatt bei "Einsetzungsverfahren" die Lücken der Anleitung. Vergleiche deine Stichpunktartige Anleitung mit der "Lückenanleitung" auf dem Arbeitsblatt und der Musterlösung hier unter "Antworten überprüfen". Korrigiere deine Anleitung auf dem Arbeitsblatt gegebenenfalls.
Fertig?
Mach mit dem Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/qfmwy9yh]systematisches Raten[/url]" oder "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655635]graphisches Lösen[/url]" weiter, wenn du mit [b]allen drei[/b] algebraischen Verfahren ([url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wpbecrqb]Einsetzungsverfahren[/url], [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/qpnx7g4j]Gleichsetzungverfahren[/url] und [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wfpjguwx]Additions- bzw. Subtratkionsverfahren[/url]) fertig bist und alles verstanden hast.[br][br]Wenn du diese Kapitel bereits bearbeitet hast, kannst du mit "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/657168]Die Lösung des Problems[/url]" weitermachen.
graphisches Lösen
Wichtig: Hinweis
Wenn du im Unterricht die "linearen Funktionen" und "Geraden" noch nicht behandelt hast, kannst du dieses Kapitel unmöglich verstehen. Mache in diesem Fall mit dem Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655630]algebraische Lösungsverfahren[/url]" oder "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655634]Lösen durch (systematisches) Raten[/url]" weiter![br][br]Wenn du beide Kapitel bereits bearbeitet hast, kannst du mit "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/657168]Die Lösung des Problems[/url]" weitermachen.
Beispiel
Stell dir vor, du sollst folgendes Gleichungssystem lösen:[br][br][center]I y - x = 6[br]II y + 3x = -2 [br][/center][br]Diese beiden Gleichungen können wir natürlich jeweils beliebig umstellen (indem wir bei der ersten Gleichung auf beiden Seiten x addieren und bei der zweiten Gleichung auf beiden Seiten 3x abziehen).[br][br]Dann wird aus dem Gleichungssystem folgendes neues Gleichungssystem:[br][br][center]I y = x + 6[br]II y = -3x -2 [/center][center][/center]
Betrachte die erste Gleichung y=x+6
Diese Gleichung kann man auch interpretieren als:
Das Selbe gilt natürlich auch für die zweite Gleichung! Wir können uns also statt des Gleichungssystems denken, dass wir zwei Funktionsgleichungen zu zwei Geraden vor uns haben.[br][br]Wir suchen nun die x- und y-Werte, die eingesetzt in die [b]beiden [/b](Funktions-)Gleichungen eine wahre Aussage erzeugen. [br]Das bedeutet also: Wir suchen einen Punkt (bzw. seine x- und y-Koordinate), der auf [b]beiden[/b] Geraden liegt. Oder anders gesagt: Wir suchen den Schnittpunkt! Wir müssen also nur die beiden Geraden, die zu den Gleichungen passen zeichnen und den Schnittpunkt ablesen.
Zeichnung der Graphen in einem Koordinatensystem:
Wir lesen nun also ab:[br]Die Graphen schneiden sich am Punkt (-2 ; 4).[br]Also löst x = -2 und y = 4 unser Gleichungssystem.
Hast du das graphisches Lösen verstanden?
Schreibe in folgendes Eingabefeld eine [u]stichpunktartige[/u] Anleitung für das graphische Lösungsverfahren. Vergleiche deine Stichpunktartige Anleitung mit der Musterlösung hier unter "Antworten überprüfen".
Beschreibe Probleme dieses Verfahrens!
Fertig?
Mach mit dem Kapitel "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655630]algebraische Lösungsverfahren[/url]" oder "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/655634]Lösen durch (systematisches) Raten[/url]" weiter, wenn du mit dieser Seite fertig bist und alles verstanden hast.[br][br]Wenn du beide Kapitel bereits bearbeitet hast, kannst du mit "[url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#chapter/657168]Die Lösung des Problems[/url]" weitermachen.
Das Wurstproblem in der Sprache der Mathematik
Wenn du hier angekommen bist, solltest du verstanden haben wie man ein Gleichungssystem löst! Du solltest also mindestens folgende Verfahren anwenden können:[br][br][list][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wpbecrqb]Einsetzungsverfahren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/qpnx7g4j]Gleichsetzungverfahren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wfpjguwx]Additionsverfahren[/url][/*][*][url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/qfmwy9yh]systematisches Raten[/url][/*][/list][br]Wenn du eine der Lösungsarten noch nicht verstanden hast, gehe nochmal zurück!
Jetzt geht's um die Wurst!
Erinnere dich nochmal an unser Problem:[br][br][i]"Frau Gauß ist mit ihrem kleinen Sohn Carl an der Wurstbude. Da Carl noch zu klein ist, kann er noch keine Wurst essen - wohl aber das Brötchen.[br][br]Wie viel sollte der Wurstbudenbesitzer für ein blankes Brötchen verlangen, wenn er normalerweise für [color=#ff0000]eine Wurst[/color] im [color=#0000ff]Brötchen [/color][color=#ff00ff]1,20€[/color] und für[color=#00ff00] 2 Würste[/color] im [color=#00ffff]Brötchen [/color][color=#6aa84f]2,10€[/color] verlangt?"[br][br][/i]Um dieses Problem mit einem Gleichungssystem passend zu modellieren, musst du genauso vorgehen, wie bei der Modellierung eines Problems durch [u]eine[/u] Gleichung - nur dass du dieses mal eben [u]zwei[/u] Gleichungen aufstellst!
Hast du wirklich keine Idee mehr, wie das geht? Schau dir die ersten 3 Minuten dieses Videos an!
Übersetze die Problemstellung in die Sprache der Mathematik! (Also in 2 Gleichungen)
Welches Gleichungssystem passt zu unserem Problem?
Alles verstanden?
Dann geht's weiter mit dem [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/zrprsebt]Anwenden der Lösungsverfahren[/url] auf unser Problem!
einfachere Aufgaben
Versuche folgende Aufgaben zu lösen!
Überprüfe deine Lösung nach jeder Aufgabe durch einen Klick auf den Lösungslink darunter!
1) Lösen eines Gleichungssystems
Löse das folgende Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl:[br][br][center]I 2x + 3y = 18[br]II x - 2y = -5[br][br]Lösung: [url=https://www.geogebra.org/m/kr5jtcuu]Lösung 1[/url][/center]
2) Einkauf beim Bäcker
Hannelore geht beim Bäcker einkaufen: Sie kauft fünf Brötchen und vier Croissants zum Gesamtpreis von 3,30€. Ihre Schwester kauft beim gleichen Bäcker am Tag danach zwei Brötchen und sechs Croissants für den gleichen Preis. Beide verlegen ihren Kassenzettel und kennen nur noch den Gesamtpreis. Ihre Mutter möchte nun die Einzelpreise eines Brötchens bzw. eines Croissants wissen. Ermittle diese Einzelpreise![br][br][center]Lösung: [url=https://www.geogebra.org/m/qgdquvtg]Lösung 2[/url][/center]
3) Zahlenrätsel
Löse folgendes Rätsel:[br][br]"Ich bin eine zweistellige Zahl. Zählt man meine Einerstelle und meine Zehnerstelle zusammen, so erhält man 6. Zieht man von der Zehnerstelle die Einerstelle ab, so erhält man 2. Wer bin ich?"[br][br][center]Lösung: [url=https://www.geogebra.org/m/ws5mndcv]Lösung 3[/url][/center]
4) Entscheidung - welches Verfahren?
Begründe, warum das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren bei folgendem Gleichungssystem besonders geschickt sind:[br][br]I 5x + 3y = 11[br]II 5x + 2y = 9
Lösungsverfahren
Wichtiger Hinweis:
Bearbeite dieses Kapitel nur, wenn deine Lehrkraft dich dazu auffordert! [br][br]Du solltest für dieses Kapitel alle anderen Lösungsverfahren bereits gut beherrschen und geübt haben. Besonders wichtig ist hier das [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/wfpjguwx]Das Additions- bzw. Subtratkionsverfahren[/url]!
Sieh dir das folgende Video über das "Gauß-Verfahren" an:
Lies dir auch den folgenden Text durch und vergleiche ihn mit dem Video!
Übung macht den Meister!
Versuche das Gauß-Verfahren mit dem Übungs-Applet auf der folgenden Seite zu üben: [url=https://www.geogebra.org/m/w4wyga7d#material/sdg4jwq6]Übungen[/url]