[b][size=100][size=150]Gauss...[/size][/size][/b][br]La suma dels N primers nombres naturals dona el mateix que el primer valor més l'últim, dividit entre dos. (Anècdota de Gauss de la suma dels primers cent nombres naturals).[br][br]Si recordem la fórmula pels N primers termes de la successió aritmètica de diferència 1:[br][br](1+N)*N/2. Com que N és un nombre parell, el podem escriure N=2n, de manera que tenim (1+2n)*2n/2= (1+2n)·n[br][br]Per calcular la mitjana, haurem de dividir entre el nombre de valors, o sigui 2n.[br]Per tant ens queda (1+2n)/2, o sigui 1/2+n. Per això la mitjana sempre té 0,5 de part decimal.[br][br][br][b]Si ho mirem per alguns casos particulars.[br][/b][color=#ff0000][b]N=2[/b][/color][br]Si comencem comptant el cas N=2, puc eliminar els dos elements, perquè en quedar una llista de dos nombres i eliminar-ne un, queda el cas trivial. I en els dos casos el resultat és enter.[br][br][color=#ff0000][b]N=4[/b][br][/color]També podem agafar el primer i el darrer, però en cap cas, els dos valors centrals, ja que no dona un valor enter.[br][list][*]Si eliminem el 4,el que ens queda és 1,2,3, que clarament té mitjana 2.[/*][*]Si eliminem l'1, el que ens queda és 2,3,4, que és la mateixa sèrie que abans amb un 1 sumat a cada terme, per tant, la mitjana serà 3.[/*][/list][br][color=#ff0000][b]N=6[/b][/color][br][list][*]Eliminem el darrer terme (6), ens queda una progressió aritmètica de diferència 1, amb 5 termes,amb una mitjana de 3, molt clara.[/*][*]Si eliminem l'1, també ens queda una sèrie aritmètica idèntica a l'anterior, sumant 1 a cada element, per tant, la mitjana serà clarament 4. M'adono que traient l'1, obtinc l'enter superior a la mitjana inicial, i traient el 6, l'enter immediatament inferior a la mitjana inicial. [/*][/list][br][br][color=#ff0000][b]N=8[/b][/color][br]Clarament, eliminant el 8 tenim 4 de mitjana, i eliminant l'1 tenim 5 de mitjana (de forma anàloga als tres casos anteriors estudiats, N=2, N=4, N=6). Ara cal justificar per què no podem eliminar cap dels valors entre 2 i 7.[br]Torna a passar que, si eliminem 1, la mitjana és l'enter immediatament superior a la mitjana inicial, i que en eliminar l'N, la mitjana és l'enter immediatament inferior a la mitjana inicial, per entendre'ns x+0,5 i x-0,5 respectivament.[br][br][br][b]Cas general (N parell).[/b][br]Ara agafarem el cas que N sigui un nombre parell, N=2n. Això vol dir considerar la llista 1,2,3.... 2n-1,2n.[br]Intento sistematitzar [br]La seva mitjana és (1+2n)/2, és a dir, n+1/2, és a dir un nombre decimal (coma cinc, parlant vulgarment)[br][br]Si eliminem el darrer terme (2n) ens queda 1,2,3,4,2n-1, i la suma és (1+2n-1)·(2n-1)/2= 2n·(2n-1)/2, o sigui n(2n-1), mentre que la seva mitjana serà n(2n-1)/(2n-1)=n. Com que eliminem el valor major del llistat, l'afectació es produirà en el sentit que serà la mínima mitjana possible.[br]Si eliminem el primer element,és a dir l'1, ens queda 2,3,... 2n, és a dir, és la mateixa sèrie que abans, amb tots un 1 sumat a tots els termes, per tant la mitjana serà n+1. Com que eliminem el menor valor, l'afectació en la mitjana serà que el valor que ens sortirà serà el màxim possible per la mitjana[br]Per tant, tots els valors se situen dins l'interval [n, n+1], i per tant no hi ha cap possibilitat que sigui un altre nombre enter.[br][br][b][size=150]Què passa si N és senar?[br][/size][/b]Fem directament el cas general[br]Tots els nombres senars positius són de la forma N=2n+1, amb n= 0,1,2....[br]Aleshores en fer la mitjana de tots els valors ens trobem que la suma és (1+2n+1)·(2n+1)/2=(n+1)(2n+1)[br]En fer la mitjana de tots els nombres surt n+1, entera.[br][br][list][*]Si eliminem l'1 de la llista, ens queda una llisa 2, 3,4,... 2n+1, que és el mateix que una llista 1,2,3..2n (tractada abans) amb un 1 afegit a tot arreu, de manera que el promig serà n+1/2+1= n+3/2[/*][*]Si eliminem el 2n+1 de la llista, ens queda la llista 1,2,3,...2n, amb un promig de n+1/2.[/*][/list]Per tant, en tots els casos variarà en l'interval[n+1/2, n+3/2], però en aquest cas sols hi ha un nombre enter, que és n.[br]Per tant l'únic valor que podem eliminar és n+1, que en coincidir amb la mitjana, no afecta en el càlcul.[br]Així, en la llista [br][br]1,2,3,4,5, N=5, n=2, la mitjana val 3, i podem eliminar sols el 3.[br]En la llista 1,2,3,4,5,6,7,8,9, N=9, n=4, i l'únic valor que podem eliminar és 5, que coincideix amb la mitjana.[br][br][br]He usat el full de càlcul, però sols per a veure els casos amb n més petit, però després no en el raonament. En aquest cas [b]em sap greu dir que l'ajut de GeoGebra ha estat menor.[/b][br]