Mit den bisherigen Ableitungsregeln kannst du ganzrationale Funktionen ableiten und du hast auch schon Regeln zum Ableiten der Sinus- und der Kosinusfunktion kennengelernt.[br]Außerdem kannst du unter Anwendung der Potenzgesetze Funktionsterme wie [math]f\left(x\right)=\frac{1}{x}[/math] und [math]f\left(x\right)=\sqrt{x}[/math] so umformen, dass du sie mit der Potenzregel ableiten kannst.[br][br][br]Funktionen wie [math]f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}[/math] kannst du aber mit den bisher vorhandenen Regeln (Potenzregel, Summenregel, Faktorregel, Konstantenregel) nicht ableiten.[br][br]Im folgenden Applet erfährst du, dass sich Funktionen wie [math]f\left(x\right)=\sqrt{x^2+1}[/math] auf eine Verkettung von zwei Funktionen zurückführen lassen.[br]In den darauffolgenden zwei Applets lernst du ein Verfahren, wie man die Ableitung einer verketteten Funktion berechnen kann, wenn man die Ableitungen ihrer Bestandteile kennt.
Im nächsten Applet siehst du, wie der Graph einer verketteten Funktion aus den Bestandteilen der Verkettung hervorgeht.
Im dritten Applet wird die Ableitung der Verkettung betrachtet.[br]Experimentiere mit verschiedenen Werten von [math]x_0[/math] und stelle eine Vermutung auf, wie die Ableitung der verketteten Funktion mit den Ableitungen ihrer Bestandteile zusammenhängt.
Mit dem folgenden Applet kannst du die Kettenregel üben.[br]Zerlege eine verkettete Funktion [math]f[/math] zunächst in ihre Bestandteile und wende dann die Kettenregel an.[br][br]Notiere die Aufgaben und die Lösungen in dein Heft.[br][br][math][br][br]1. \( f(x) = (3x^2 + 2x + 1)^4 \) \\[br]2. \( f(x) = \sin(2x^3 - 5x + 1) \) \\[br]3. \( f(x) = \cos(x^4 + x^2 - 3) \) \\[br]4. \( f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x - 2} \) \\[br]5. \( f(x) = \left( \frac{1}{5x^3 - 4x + 7} \right)^2 \) \\[br]6. \( f(x) = (x^2 + 3x + 5)^{3/2} \) \\[br]7. \( f(x) = \sin(x^3 - x + 2) \) \\[br]8. \( f(x) = \cos(3x^4 - 2x^2 + x) \) \\[br]9. \( f(x) = \sqrt{2x^3 + x - 1} \) \\[br]10. \( f(x) = \left( \frac{1}{\sqrt{x^3 - 2x^2 + 4x - 1}} \right) \)[br][br][/math][br]