Általánosítások, alkalmazások, tovább gondolások

Tarcsay Tamás, 22. lip 2019.

Problémák általánosításai és azok alkalmazásai

Sadržaj

  1. Algebra
    1. Gyártsunk négyzetgyökös egyenletrendszert!
    2. Gyártsunk további egyenleteket!
    3. Köbgyökös probléma általánosatása
    4. 2026. 77.
    5. 2027. 360. (logaritmus)
  2. Analitikus geometria (koordinátageometria)
    1. Ellipiszis egyenlete
    2. Hiperbola egyenlete
    3. Implicit módon adott görbe ...
    4. 2027. 99.
  3. atávolság
    1. Atávolság
    2. Az atávolság tulajdonságai
    3. Pont és egyenes atávolsága
    4. Aparabola
    5. Pontokról egyenlő atávolságra levő pontok mértani helye
    6. Háromszög oldalainak ahossza
    7. Speciális háromszögek oldalainak ahosszai
    8. Az atávolságtartó transzformációk
    9. Adeltoid, arombusz, ...
    10. Két pont atávolságának ...
    11. Két egyenestől egyenlő atávolságra levő pontok mértani helye
    12. Akörre vonatkozó ahatvány
    13. Ainverzió - akörre vonatkozó tükrözés
    14. További görbék (kúpszeletek) ainverze
    15. Görbe ainverze
  4. Egyéb elemi síkgeometriai problémák
    1. A gyk_73 továbbgondolása
    2. Egy mértani helyes probléma általánosítása
    3. Adott a síkban négy pont, A, B, C, D.
    4. Mi a mértani helye?
    5. Mértani hely - továbbgondolás
    6. Egybevágóság, tengelyes tükrözés alkalmazása
    7. 30. általánosítás
    8. 30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
    9. 31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
    10. 30. Más irányú általánosítás
    11. 31. Na még tovább!
    12. 1. Egy paralelogramma, aminek merőleges affin képe négyzet
    13. 1.1. És még néhány paralelogramma, aminek merőleges affin képe négyzet
    14. 2. Van olyan paralelogramma, aminek nem lehet az x-tengely egyenesére vonatkozó négyzet merőleges affin képe?
    15. Bármely háromszögnek lehet-e merőleges affinitással kapott képe szabályos háromszög?
    16. gyk_331.1 - Tükrözés külső és belső szögfelezőre
    17. Mh. 35.
    18. Raszösz sokszögek, raszösz ötszög
    19. Speciális derékszögű háromszögek alkalmazása
    20. 238. - Továbbgondolás
    21. Egy konvex négyszög oldalaira ...
    22. Egy ABC háromszög oldalaira ...
    23. Két kör közös érintői 2.
    24. Mekkora a szög? (általánosítás)
    25. 1. általánosítás: A négyszög területe?
    26. A háromszög területe?
    27. Az ABCD húrnégyszög.
    28. Egy korábbi probléma továbbgondolásaként született feladat
    29. Mely pontra ...
    30. Kata - Terület 2.
    31. 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?
  5. Egyéb elemi térgeometriai problémák
    1. 30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
    2. 30. Kilépés a térbe - kocka
    3. 30. Kilépés a térbe - szabályos oktaéder
    4. 31. Kilépés a térbe - 5 pont egy gömbön
    5. 31. Kilépés a térbe - tetraéder
    6. Gömbbe írt maximális térfogatú henger
    7. Félgömbbe írt maximális térfogatú olyan csonkagúla, melynek alaplapja illeszkedik a félgömb alaplapjára
    8. Egy gömbbe írt maximális térfogatú kúp
    9. Egy gömbbe írt maximális felszínű kúp
    10. Az ABCDA'B'C'D' egységnyi ...
  6. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos sokszöglap
    1. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos háromszöglap
    2. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos ötszöglap
    3. Négyzetlapból kivágható maximális területű szabályos hatszöglap
    4. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos hétszög
    5. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos nyolcszög
    6. Na még egy ...
  7. Érintő körök
    1. Újabb általánosítások, alkalmazások
    2. Szimmetrikus érintőtrapéz
    3. Egymást kívülről érintő körök - már megint
    4. A hozzáírt kör egyenlete
    5. Továbbgondolás - gyk_294
    6. Mekkorák ...
    7. Mekkorák ...
  8. Háromszög nevezetes pontjai
    1. Háromszög magasságpontjának a köré írt körre vonatkozó hatványa
    2. A háromszög beírt köre középpontjának a körül írt körre vonatkozó hatványa
    3. Véletlen háromszögek nevezetes pontjai
    4. Milyen hosszú az ...
    5. Mennyi a minimális összhosszúság?
  9. Háromszög nevezetes "vonalai" és az oldalak
    1. Egy probléma általánosítása (Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok - 127.)
    2. 1. alkalmazás - "súlyvonal háromszög"
    3. 2. alkalmazás - "szögfelező háromszög"
    4. Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
    5. Mekkora az ABCD négyszög területe?
    6. Adott egy háromszög két oldala és a harmadikhoz tartozó súlyvonala
    7. Adott egy háromszög két oldala és az általuk közbezárt belső szög szögfelező szakasza
    8. 8 = 9 - 1; 27 = 36-9; 64 = 100 - 36; ...
    9. Mértani hely keresése
    10. Egy korábbi mértani helyes probléma általánosítása
  10. Kerületi szöges probléma
    1. Kerületi szöges probléma
  11. Nem versenyfeladat ez?
    1. TG Nem versenyfeladat ez? - továbblépés
    2. MH Nem versenyfeladat ez? - mértani helyes probléma
    3. Apollóniusz után szabadon
    4. Apollóniusz... n =3
  12. ntávolság
    1. Összefoglaló - ntávolság
    2. ntávolság
    3. Az ntávolság tulajdonságai
    4. nkör:
    5. nszakaszfelezőmerőlges
    6. Mértani hely - ntávolság
    7. nApollóniusz:
    8. ntávolságtartó transzformáció
    9. Püthagorasz - ntávolság
    10. Egy háromszög mely belső pontjára igaz, ...
    11. nszabályos háromszög(?)
    12. Az ntávolság és a távolság aránya
  13. Sorozatok
    1. Már megint a Collatz-sorozatról
    2. Egy zárt ...
    3. Hány rácspont ... (3.)
    4. Egy általánosított rekurzió
    5. 2027. 146.
  14. Számelmélet
    1. Milyen maradékokat adnak ...
    2. Hányféleképpen ...
    3. Csináljunk egy évszámos problémát!
    4. Na még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...
    5. És még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...
    6. 2026. 78.
    7. f(n) ...
  15. Valószínűségszámításos problémák
    1. Egy folytonos valószínűségi változós probléma
    2. Lépjünk ki a térbe!
    3. Egy másik folytonos valószínűségi változó
  16. További problémák
    1. Függelék

1.

Algebra

  • 1. Gyártsunk négyzetgyökös egyenletrendszert!
  • 2. Gyártsunk további egyenleteket!
  • 3. Köbgyökös probléma általánosatása
  • 4. 2026. 77.
  • 5. 2027. 360. (logaritmus)

1.1.

–

1.2.

–

1.3.

–

1.4.

–

1.5.

–

2.

Analitikus geometria (koordinátageometria)

  • 1. Ellipiszis egyenlete
  • 2. Hiperbola egyenlete
  • 3. Implicit módon adott görbe ...
  • 4. 2027. 99.

2.1.

–

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

3.

atávolság

Ebben a fejezetben talán már sikerült az egyes anyagokat megfelelő logikai sorrendben elhelyezni. Ha valaki ismerkedni akar vele, akkor érdemes lehet az anyagok sorrendjét követni. Aki pontos matematikai tárgyalást vár, az csalódni fog. Általában csak a problémák felvetéséig jutunk el.

  • 1. Atávolság
  • 2. Az atávolság tulajdonságai
  • 3. Pont és egyenes atávolsága
  • 4. Aparabola
  • 5. Pontokról egyenlő atávolságra levő pontok mértani helye
  • 6. Háromszög oldalainak ahossza
  • 7. Speciális háromszögek oldalainak ahosszai
  • 8. Az atávolságtartó transzformációk
  • 9. Adeltoid, arombusz, ...
  • 10. Két pont atávolságának ...
  • 11. Két egyenestől egyenlő atávolságra levő pontok mértani helye
  • 12. Akörre vonatkozó ahatvány
  • 13. Ainverzió - akörre vonatkozó tükrözés
  • 14. További görbék (kúpszeletek) ainverze
  • 15. Görbe ainverze

3.1.

–

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

3.5.

–

3.6.

–

3.7.

–

3.8.

–

3.9.

–

3.10.

–

3.11.

–

3.12.

–

3.13.

–

3.14.

–

3.15.

–

4.

Egyéb elemi síkgeometriai problémák

  • 1. A gyk_73 továbbgondolása
  • 2. Egy mértani helyes probléma általánosítása
  • 3. Adott a síkban négy pont, A, B, C, D.
  • 4. Mi a mértani helye?
  • 5. Mértani hely - továbbgondolás
  • 6. Egybevágóság, tengelyes tükrözés alkalmazása
  • 7. 30. általánosítás
  • 8. 30. Hogyan tanítsuk elemi geometriai környezetben?
  • 9. 31. Egy korábbi probléma továbbgondolása
  • 10. 30. Más irányú általánosítás
  • 11. 31. Na még tovább!
  • 12. 1. Egy paralelogramma, aminek merőleges affin képe négyzet
  • 13. 1.1. És még néhány paralelogramma, aminek merőleges affin képe négyzet
  • 14. 2. Van olyan paralelogramma, aminek nem lehet az x-tengely egyenesére vonatkozó négyzet merőleges affin képe?
  • 15. Bármely háromszögnek lehet-e merőleges affinitással kapott képe szabályos háromszög?
  • 16. gyk_331.1 - Tükrözés külső és belső szögfelezőre
  • 17. Mh. 35.
  • 18. Raszösz sokszögek, raszösz ötszög
  • 19. Speciális derékszögű háromszögek alkalmazása
  • 20. 238. - Továbbgondolás
  • 21. Egy konvex négyszög oldalaira ...
  • 22. Egy ABC háromszög oldalaira ...
  • 23. Két kör közös érintői 2.
  • 24. Mekkora a szög? (általánosítás)
  • 25. 1. általánosítás: A négyszög területe?
  • 26. A háromszög területe?
  • 27. Az ABCD húrnégyszög.
  • 28. Egy korábbi probléma továbbgondolásaként született feladat
  • 29. Mely pontra ...
  • 30. Kata - Terület 2.
  • 31. 2. általánosítás(?) - Négyszög területe?

4.1.

–

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

4.5.

–

4.6.

–

4.7.

–

4.8.

–

4.9.

–

4.10.

–

4.11.

–

4.12.

–

4.13.

–

4.14.

–

4.15.

–

4.16.

–

4.17.

–

4.18.

–

4.19.

–

4.20.

–

4.21.

–

4.22.

–

4.23.

–

4.24.

–

4.25.

–

4.26.

–

4.27.

–

4.28.

–

4.29.

–

4.30.

–

4.31.

–

5.

Egyéb elemi térgeometriai problémák

  • 1. 30. Kilépés a térbe - szabályos tetraéder
  • 2. 30. Kilépés a térbe - kocka
  • 3. 30. Kilépés a térbe - szabályos oktaéder
  • 4. 31. Kilépés a térbe - 5 pont egy gömbön
  • 5. 31. Kilépés a térbe - tetraéder
  • 6. Gömbbe írt maximális térfogatú henger
  • 7. Félgömbbe írt maximális térfogatú olyan csonkagúla, melynek alaplapja illeszkedik a félgömb alaplapjára
  • 8. Egy gömbbe írt maximális térfogatú kúp
  • 9. Egy gömbbe írt maximális felszínű kúp
  • 10. Az ABCDA'B'C'D' egységnyi ...

5.1.

–

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

5.10.

–

6.

Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos sokszöglap

  • 1. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos háromszöglap
  • 2. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos ötszöglap
  • 3. Négyzetlapból kivágható maximális területű szabályos hatszöglap
  • 4. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos hétszög
  • 5. Egységnégyzetlapból kivágható maximális területű szabályos nyolcszög
  • 6. Na még egy ...

6.1.

–

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

6.6.

–

7.

Érintő körök

  • 1. Újabb általánosítások, alkalmazások
  • 2. Szimmetrikus érintőtrapéz
  • 3. Egymást kívülről érintő körök - már megint
  • 4. A hozzáírt kör egyenlete
  • 5. Továbbgondolás - gyk_294
  • 6. Mekkorák ...
  • 7. Mekkorák ...

7.1.

–

7.2.

–

7.3.

–

7.4.

–

7.5.

–

7.6.

–

7.7.

–

8.

Háromszög nevezetes pontjai

  • 1. Háromszög magasságpontjának a köré írt körre vonatkozó hatványa
  • 2. A háromszög beírt köre középpontjának a körül írt körre vonatkozó hatványa
  • 3. Véletlen háromszögek nevezetes pontjai
  • 4. Milyen hosszú az ...
  • 5. Mennyi a minimális összhosszúság?

8.1.

–

8.2.

–

8.3.

–

8.4.

–

8.5.

–

9.

Háromszög nevezetes "vonalai" és az oldalak

  • 1. Egy probléma általánosítása (Eigel Ernő: Síkgeometriai feladatok - 127.)
  • 2. 1. alkalmazás - "súlyvonal háromszög"
  • 3. 2. alkalmazás - "szögfelező háromszög"
  • 4. Egy szögfelező szakasz hossza egy háromszögben 299.
  • 5. Mekkora az ABCD négyszög területe?
  • 6. Adott egy háromszög két oldala és a harmadikhoz tartozó súlyvonala
  • 7. Adott egy háromszög két oldala és az általuk közbezárt belső szög szögfelező szakasza
  • 8. 8 = 9 - 1; 27 = 36-9; 64 = 100 - 36; ...
  • 9. Mértani hely keresése
  • 10. Egy korábbi mértani helyes probléma általánosítása

9.1.

–

9.2.

–

9.3.

–

9.4.

–

9.5.

–

9.6.

–

9.7.

–

9.8.

–

9.9.

–

9.10.

–

10.

Kerületi szöges probléma

  • 1. Kerületi szöges probléma

10.1.

–

11.

Nem versenyfeladat ez?

  • 1. TG Nem versenyfeladat ez? - továbblépés
  • 2. MH Nem versenyfeladat ez? - mértani helyes probléma
  • 3. Apollóniusz után szabadon
  • 4. Apollóniusz... n =3

11.1.

–

11.2.

–

11.3.

–

11.4.

–

12.

ntávolság

  • 1. Összefoglaló - ntávolság
  • 2. ntávolság
  • 3. Az ntávolság tulajdonságai
  • 4. nkör:
  • 5. nszakaszfelezőmerőlges
  • 6. Mértani hely - ntávolság
  • 7. nApollóniusz:
  • 8. ntávolságtartó transzformáció
  • 9. Püthagorasz - ntávolság
  • 10. Egy háromszög mely belső pontjára igaz, ...
  • 11. nszabályos háromszög(?)
  • 12. Az ntávolság és a távolság aránya

12.1.

–

12.2.

–

12.3.

–

12.4.

–

12.5.

–

12.6.

–

12.7.

–

12.8.

–

12.9.

–

12.10.

–

12.11.

–

12.12.

–

13.

Sorozatok

  • 1. Már megint a Collatz-sorozatról
  • 2. Egy zárt ...
  • 3. Hány rácspont ... (3.)
  • 4. Egy általánosított rekurzió
  • 5. 2027. 146.

13.1.

–

13.2.

–

13.3.

–

13.4.

–

13.5.

–

14.

Számelmélet

  • 1. Milyen maradékokat adnak ...
  • 2. Hányféleképpen ...
  • 3. Csináljunk egy évszámos problémát!
  • 4. Na még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...
  • 5. És még egyszer: Hány olyan négyjegyű szám van, ...
  • 6. 2026. 78.
  • 7. f(n) ...

14.1.

–

14.2.

–

14.3.

–

14.4.

–

14.5.

–

14.6.

–

14.7.

–

15.

Valószínűségszámításos problémák

  • 1. Egy folytonos valószínűségi változós probléma
  • 2. Lépjünk ki a térbe!
  • 3. Egy másik folytonos valószínűségi változó

15.1.

–

15.2.

–

15.3.

–

16.

További problémák

  • 1. Függelék

16.1.

–

Informacija