Si observamos una cuerda enroscada en un tubo, podemos identificar que tiene forma de hélice.[br][list][*]Matemáticamente, podemos modelizarla como una curva, que da vueltas alrededor de un cilindro (radio constante).[/*][/list][list][*]Pero, también podemos pensar en el grosor de la cuerda, y hacer el modelo como un "tubo" con forma de hélice, obteniendo una hélice tubular.[/*][*]Básicamente, se trata de la superficie generada por una circunferencia de radio constante, que se mueve a lo largo de una hélice. La particularidad es que, en cada punto, el plano en que se encuentra la circunferencia siempre es perpendicular a nuestra hélice.[br][/*][/list]Veamos cómo resultaría el modelo matemático, y después cómo deducir sus ecuaciones paramétricas.

Pulsando el botón "opciones", podemos elegir qué visualizar en este modelo:[br][list][*]Los puntos sobre la línea central nos permiten elegir en qué partes de este eje se extenderá la superficie.[/*][*]El punto azul que tiene alrededor una circunferencia, el radio del cilindro.[/*][*]El punto sobre esa circunferencia, el radio del tubo correspondiente a la hélice.[/*][*]El otro punto, el paso, o distancia que habrá entre cada vuelta.[br][/*][/list]Además, tenemos otras opciones de visualicación:[br][list][*]ver el tubo o la propia hélice, [/*][*]marcar algunas curvas sobre la superficie, [/*][*]mostrar un punto que nos permita elegir qué sección circular ver. [/*][*]Pulsando sobre el punto, activaremos/desactivaremos su animación automática.[/*][/list]

El punto de partida será la ecuación de la [b]hélice[/b].[br][list][*]Por simplicidad, el eje del cilindro será, por ejemplo, el eje "x". [/*][*]La hélice debe ir describiendo circunferencias de cierto radio R alrededor del cilindro, a la vez que avanza en la dirección de este eje. [/*][*]Habitualmente, la parametrización de una circunferencia de radio R en el plano es [math](R cos(t),R sen(t)[/math]. En este caso, para dejar la coordenada [math]x[/math] libre para el eje, escribiremos la componente del coseno en la coordenada z.[/*][*]La hélice completa una vuelta cada [math]2\pi[/math], así que, para que "avance" una cierta cantidad [math]p[/math] en el eje "x" en cada vuelta, la componente x debe ser [math]\frac{p}{2\pi}\cdot t[/math]. Por comodidad, denotamos [math]h=\frac{p}{2\pi}[/math].[br][/*][*]Así pues, la podemos parametrizar como [center][math]r(t)=\left(h\cdot t,R sen(t),Rcos(t)\right)[/math].[br][/center][/*][/list]

Una vez que tenemos la ecuación de la hélice, la superficie se calcula trazando una circunferencia perpendicular a la hélice en cada punto.[br]Para encontrar el plano perpendicular en cada punto, necesitamos el vector tangente a la hélice, que se obtiene derivando su ecuación respecto su parámetro:[br][center][math]\vec{T}={\left(h,R cos(t),-R sen(t)\right)}[/math][/center][br]La longitud de este vector es [math]L=\sqrt{h^2+R^2 cos^2(t)+R^2 sen^2t}=\sqrt{h^2+R^2}[/math].[br][br]Notar que es de longitud constante y, en consecuencia:[br][list][*]la longitud de cada tramo es proporcional a la longitud recorrida en el parámetro [math]t[/math], con lo que tenemos "casi" la parametrización natural de la hélice (en la que la distancia recorrida es precisamente la longitud recorrida en el parámetro).[/*][*]En general, el uso de la parametrización natural (o una proporcional) simplifica mucho el cálculo de la base para el plano ortogonal.[/*][*]Por ejemplo, el primer vector de la base puede obtenerse normalizando la derivada del vector tangente (dividiendo por su módulo).[br][/*][/list][br]El siguiente paso es obtener una base ortonormal del plano tangente, que usaremos para trazar las circunferencias.[br][list][/list][list][*]La forma habitual de obtenerlo es mediante el [url=https://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_diferencial_de_curvas#Vectores_tangente,_normal_y_binormal:_Triedro_de_Fr%C3%AAnet-Serret]Triedro de Frênet[/url]. En [url=https://www.geogebra.org/m/zzhpc8js]este applet[/url] podemos ver su construcción y visualizarlo para una curva cualquiera.[/*][*]Un primer paso es derivar el vector tangente [math]\vec T[/math] y el vector resultante para obtener uno [math]\vec B[/math] unitario ortogonal al propio [math]\vec T[/math]. Después, usando el producto vectorial, obtener el otro vector ortogonal [math]\vec N[/math], con el que tendremos la base del plano tangente.[/*][*][math]\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d} t}=\left(0,-R\operatorname{sen}(t),-R\operatorname{cos}(t)\right)[/math]. Dividiendo por [math]-R[/math], obtenemos el vector unitario[br][center] [math]\vec{B}=\left(0,sen(t),cos(t)\right)[/math].[/center][size=85][/size][size=85](*) Es sencillo comprobar que, en este caso, es ortogonal a [math]\vec T[/math]. [br]Como hemos dicho, se debe al tipo de parametrización usada. Esto nos ahorrará un paso, pues de no haberlo sido, tendríamos que haber obtenido este segundo vector a través del vectorial con [math]\vec{T}[/math], y luego calcular otra vez el producto vectorial, obtenidendo así el tecer vector.[/size] [br][/*][/list]Por último, para obtener el otro vector ortogonal, podemos utilizar la fórmula simplificada para la parametrización natural o, simplemente, calcularlo a través del producto vectorial de [math]\vec T[/math] y [math]\vec B[/math]. [center][math]\vec N=\frac{1}{L}\vec T\otimes \vec B=\frac{1}{L}\left(R, -h \; \operatorname{cos} \left( t \right), h \; \operatorname{sen} \left( t \right) \right)[/math][/center]

Una vez tenemos los vectores, bastará ir circunferencias de cierto radio [math]a[/math] en cada punto de la hélice, utilizando un nuevo parámetro [math]u[/math] y una parametrización del tipo [math](a\cdot cos(u),a\cdot sen(t))[/math] .[br]Por tanto, la ecuación de la superficie será[br][center][math]S(t,u)=r(t)+a\cdot cos(u) \vec{B}+a\cdot sen(u)\vec{N}[/math],[/center]que, en coordenadas paramétricas resultará:[center][math][br]\left\{\begin{array}{rcll}[br]x=&ht&&+\frac{aR}{L}\cdot sen(u)\\[br]y=&R\cdot sen(t)&+a\cdot cos(u)sen(t)&-\frac{ah}{L}\cdot sen(u) cos(t)\\[br]z=&R\cdot cos(t)&+a\cdot cos(u)cos(t)&+\frac{ah}{L}\cdot sen(u) sen(t)\\[br]\end{array}\right.[br][/math][/center]