"Innere mal äußere Ableitung" ist der Spruch, den man sich für die Kettenregel merken muss. [br][b]Was heißt das?[br][/b]Gegeben sind eine äußere Funktion [math]a(x)[/math] und eine innere Funktion [math]i(x)[/math]. Dann lautet die verkettete Funktion [math]f(x)=a(i(x))[/math]. In manchen Büchern findet man für verkettete Funktionen auch die Schreibweise [math]f(x)=(a\circ i)(x)[/math]. Dann lautet die Ableitungsfunktion: [br]"Kurzfassung": [br][br][math]\text{\large{$\boxed{f'=i'\cdot a'(i)}$}}[/math] [br][br]Oder mit der Abhängigkeit von [math]x[/math]:[br][br] [math]\text{\large{$\boxed{f'(x)=i'(x)\cdot a'(i(x))}$}}[/math] [br][br]Achten Sie darauf, dass das Argument in den Klammern der äußeren Ableitung die innere Funktion [math]i(x)[/math] ist, und [i][b]nicht[/b][/i] deren Ableitungsfunktion.

Ein Beispiel: Gegeben sind [math]a(x)=x^3+5\cdot x[/math] und [math]i(x)=2\cdot x^2-3\cdot x[/math][br]Dann lautet die verkettete Funktion: [br][math]f(x)=(2\cdot x^2-3\cdot x)^3+5\cdot(2\cdot x^2-3\cdot x)[/math][br][list=1][*]Der erste Schritt ist, so eine Verkettung zu erkennen. Das heißt das Erkennen der äußeren und der inneren Funktion und die Schlussfolgerung: "Hier kann ich die Kettenregel anwenden"[/*][*]Wenn die äußere Funktion [math]a(x)[/math] und die innere Funktion [math]i(x)[/math] identifiziert sind, dann müssen alle "Bausteine" zusammengesucht werden: Berechnen Sie die Ableitungsfunktionen von [math]a(x)[/math] und [math]i(x)[/math]:[br][list][*]Um sich daran zu erinnern, dass in die Funktion [math]a(x)[/math] für das [math]x[/math] die innere Funktion [math]i(x)[/math] eingesetzt werden soll, kann man [math]a(x)[/math] auch gleich als [math]a(i)[/math] schreiben: [/*][*][math]a(i)=i^3+5\cdot i[/math] und damit: [math]a'(i)=3\cdot i^2+5[/math][/*][*][math]i(x)=2\cdot x^2-3\cdot x[/math] und [math]i'(x)=4\cdot x-3[/math][br][/*][/list][/*][*]Nun gilt es, diese Bausteine nach dem Rezept [math]f'=i'\cdot a'(i)[/math] zusammenzusetzen:[br][math]f'(x)=(4\cdot x-3)\cdot(3\cdot(2\cdot x^2-3\cdot x)^2+5)[/math] [br]Hier ist die gesucht Ableitungsfunktion bereits vollständig gelöst und richtig. In der Regel empfiehlt es sich allerdings noch, dien Term möglichst zu vereinfachen.[br][br][/*][*]Das Vereinfachen dieses komplizierten Terms ist wohl der mühsamste Schritt. Das ist hier als "Fingerübung" empfohlen. Hier soll nur das Ergebnis angegeben werden:[br][math]f'(x)=48\cdot x^5-180\cdot x^4+216\cdot x^3-81\cdot x^2+20\cdot x-15[/math][br][/*][/list][br][br]Im folgenden Geogebra-Applet kann die Kettenregel geübt werden. Denken Sie sich äußere und innere Funktionen aus und leiten Sie diese ab. Wenn Sie die Exponentialfunktion [math]\text{\large{$e^x$}}[/math] verwenden möchten, dann geben Sie diese bitte als [i][b]exp(x)[/b][/i] ein.