Zoomen Sie mit Hilfe des Schiebereglers langsam aus dem folgenden Diagramm heraus. [br]Beschreiben Sie, was Sie feststellen können.
Je weiter man herauszoomt, desto mehr ähnelt der Graph einer Parabel ungerader Ordnung.
Globales Verhalten näher erkunden
Zoomen Sie aus dem zweiten Diagramm (siehe unten) noch einmal langsam heraus. [br][br]Beschreiben Sie, was man für sehr große x-Werte ([math]x\to\infty[/math]) bzw. sehr kleine x-Werte ([math]x\to-\infty[/math]) feststellen kann.
Je weiter man herauszoomt, desto kleiner wird der relative Unterschied zwischen dem Graphen der Polynomfunktion [i]f[/i] und dem Graphen der Potenzfunktion [i]g[/i], deren Term lediglich aus dem Summanden mit der höchsten Potenz von x besteht.
Erkenntnis testen
Überprüfen Sie Ihre neue Erkenntnis, dass [b]das globale Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion vom Summanden mit der höchsten Potenz von x dominiert wird[/b], indem Sie im folgenden Applet eine Polynomfunktion vierten, fünften oder sechsten Grades definieren und diese ergänzen durch eine zweite Funktion, deren Term nur den Summanden mit der höchsten Potenz von x enthält.[br]Beispiele: [math]f\left(x\right)=-0.2x^6+3x^3+x^2-0.5x-2[/math] und [math]g\left(x\right)=-0.2x^6[/math]
Lokales Verhalten erkunden
Zoomen Sie im folgenden Diagramm zum Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse hinein.[br]Was stellen Sie bezüglich der Krümmung und der Steigung des Graphen fest?
Zuerst erkennt man nur noch, dass der Graph rechtsgekrümmt und monoton steigend durch die y-Achse geht.[br]Zoomt man noch weiter hinein, wird die Krümmung immer schwächer und der Graph ähnelt immer mehr einer Geraden mit Steigung 2, das heißt mit Gleichung y = 2x + 3. Die beiden Summanden 2x und 3 kommen auch in der Gleichung der Polynomfunktion vor; dort sind sie die Summanden mit den niedrigsten Potenzen von x.
Lokales Verhalten näher erkunden
Ermitteln Sie den Bereich auf der x-Achse, für den die Gerade (lineare Näherung) eine gute Näherung des eigentlichen Graphen der Polynomfunktion darstellt.[br]Wie groß ist der entsprechende Bereich für die linear-quadratische Näherung?
Die lineare Näherung weicht für -0.05 < x < 0.05 wenig vom ursprünglichen Graphen ab.[br]Der Bereich, in dem die linear-quadratische Näherung passt, ist größer: -1.5 < x < 1
Erkenntnis testen
Überprüfen Sie Ihre neue Erkenntnis, dass [b]das lokale Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion von den Summanden mit den niedrigsten Potenzen von x dominiert wird[/b], indem Sie im folgenden Applet eine Polynomfunktion vierten, fünften oder sechsten Grades definieren und diese ergänzen durch eine zweite Funktion, deren Term nur den Summanden mit den niedrigsten Potenzen von x enthält.[br]Beispiele: [math]f\left(x\right)=-0.2x^6+3x^3+x^2-0.5x-2[/math] und [math]l\left(x\right)=-0.5x-2[/math] bzw. [math]q\left(x\right)=x^2-0.5x-2[/math]
Erkenntnis anwenden
Ordnen Sie die folgenden Graphen den Funktionsgleichungen zu, indem Sie Ihre neuen Erkenntnisse bzgl. des globalen und lokalen Verhaltens anwenden:[br][math]f\left(x\right)=-0,1x^6+2x^2-x+1[/math][br][math]g\left(x\right)=x^4-2x^2+1[/math][br][math]h\left(x\right)=-x^3+2x+1[/math][br][math]j\left(x\right)=0,3x^5-2x^2-x[/math]