Die Berechnung der Zahl Pi gehört mitunter zu den ältesten Problemen der Mathematik.[br]Eine Möglichkeit, um einen Näherungswert für Pi zu bekommen, ist die Verwendung von Reihen, Produkten oder Kettenbrüchen. Dabei wurden im Lauf der mathematischen Entwicklung eine Vielzahl von Näherungsformeln gefunden, von denen einige hier angeführt sind.[br][br][math][br]\frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} ... = \Pi_{k=1}^{\infty} \frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)} \quad \text{ (Wallis 1655)} \\[br]\frac{4}{\pi} = 1 + \frac{1^2}{2 + \frac{3^2}{2 + \frac{5^2}{2 + \frac{7^2}{2 + ...}}}} \quad \text{ (Brounecker 1655)} \\[br]\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 2^3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 2^5} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 2^7} + ... \quad \text{ (Newton 1665)}\\[br]\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- ... = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2k+1} \quad \text{ (Leibniz 1673)}\\[br]\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + ... = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \quad \text{ (Euler 1748)}\\[br]\frac{\pi^2}{8} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + ... = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} \quad \text{ (Euler 1748)}\\[br]\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \cdot \sum_{n=0}^{\infty}{ \frac{(4n)! \cdot (1103 + 26390n)}{(n!)^4 \cdot 396^{4n}} } \quad \text{ (Ramanujan 1914)}\\[br]\frac{1}{\pi} = 12 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} {\frac{(-1)^k (6k)! \, (545140134 \cdot k + 13591409)}{ (3k)! (k!)³ \cdot 640320^{3k + \frac{3}{2} }}[br] \quad \text{ (Brüder Chudnovsky 1988)}[br][/math][br][br]Das folgende Applet zeigt das [b]Konvergenzverhalten [/b]der Reihen, die auf [b][color=#0000ff]Leibniz[/color][/b], [b][color=#ff0000]Newton[/color][/b], [b]Ramanujan [/b]und [b][color=#9900ff]Chudnovsky [/color][/b]zurückgehen.[br]Erstaunlich ist dabei die äußerst rasche Annäherung mithilfe der Reihe von Ramanujan. Bereits für n=2 stimmt der Wert für Pi auf [b]15 Nachkommastellen[/b] überein.[br]Der von David und Gregory [b][color=#9900ff]Chudnovsky [/color][/b]1988 entwickelte Algorithmus ist das zur Zeit schnellste Verfahren und ist eine Weiterentwicklung der Formel von Ramanujan.[br]