[right][size=85][color=#980000][size=50]Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj]Möbius-Werkzeuge circle-tools[/url] (April 2019)[/size][/color][/size][/right][br][size=85]Die [color=#0000ff][i][b]Geometrie der Kreise[/b][/i][/color] - speziell die Geometrie der [url=https://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius-Ebene][color=#980000][i][b]klassischen reellen Möbius-Ebene[/b][/i][/color][/url] (wikipedia) - bietet einen [b][color=#cc0000]b[/color][color=#ff0000]u[/color][color=#ff7700]n[/color][color=#e69138]t[/color][color=#6aa84f]e[/color][color=#00ff00]n[/color] [color=#00ffff]S[/color][color=#76a5af]t[/color][color=#0000ff]r[/color][color=#674ea7]a[/color][color=#ff00ff]u[/color][color=#4C1130]ß[/color][/b] interessanter Beziehungen und Probleme, die schon die Geometer und Tüftler des Altertums beschäftigten.[br]Wir nennen exemplarisch das [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Apollonisches_Problem]Problem des [color=#0000ff][b]APOLLONIOS von PERGE[/b][/color]:[/url] [br][/size][list][*][size=85]konstruiere alle [color=#ff7700][i][b]Kreise[/b][/i][/color], die 3 vorgegebene [color=#38761D][i][b]Kreise[/b][/i][/color] berühren![/size][/*][/list][size=85][color=#980000][b]ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle3.png[/icon][color=#980000][b]gebra[/b][/color] stellt einige Werkzeuge zum Experimentieren mit Kreisen zur Verfügung: [icon]/images/ggb/toolbar/mode_circle2.png[/icon][icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon]. [br]Wir haben auf den vorangegangenen Seiten eine Reihe weiterer benutzerdefinierte Werkzeuge vorgestellt. Dabei kam uns oft die Unterscheidung von [color=#0000ff][b]Kreis[/b][/color] und [color=#ff0000][b]Gerade[/b][/color] in die Quere: möbiusgeometrisch ist eine [color=#ff0000][b]Gerade [/b][/color]nur ein [color=#0000ff][b]Kreis[/b][/color], der zufällig durch [math]\infty[/math] geht![br]Die Schwierigkeiten ergeben sich daraus, dass in [color=#980000][b]ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon][color=#980000][b]gebra[/b][/color] die Hilfsmittel zum Experimentieren mit Kreisen [color=#ff7700][i][b]Zirkel[/b][/i][/color] und [color=#ff7700][i][b]Lineal[/b][/i][/color], also die Hilfsmittel der [b]Ebene[/b] sind. [br]Würde man auf der [b]Kugel [/b]experimentieren, so gäbe es den Unterschied zwischen [color=#0000ff][i][b]Kreis [/b][/i][/color]und [color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i] [/color]nicht: ein [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] ist der Schnitt der [b]Kugel[/b] mit einer [color=#ff00ff][i][b]Ebene[/b][/i][/color]! [color=#ff0000][i][b]Geraden[/b][/i][/color] hätte man nur zu berücksichtigen, wenn man die [color=#0000ff][i][b]Kreise[/b][/i][/color] durch einen besonders hervorgehobenen Punkt - z.B. [math]\infty[/math] - extra auszeichnet: als [i][b][color=#ff0000]GERADEN[/color][/b][/i].[br][br]Wir meinen, es lohnt sich, sich mit Kreisfragen zu beschäftigen: die [b]euklidische Ebene[/b], die [b]elliptische Ebene[/b] und die [b]hyperbolische Ebene[/b] sind nur Untergeometrien der [color=#980000][i][b]klassischen reellen Möbius-Ebene[/b][/i][/color].[br][br]Beim Versuch, geometrische Sachverhalte darzustellen und zu beweisen, leitet uns der vielleicht manchmal illusionäre Traum, dass sich schöne geometrische Figuren und Beziehungen auch mit [color=#9900ff][b]schön einfachen Berechnungsmethoden[/b][/color] nachweisen lassen sollten.[br]Dass dies nicht unbedingt eine Illusion ist, zeigt das sehr erfreuliche Buch "[b]Geometrie-Kalküle[/b]" von [b]J. Richter-Gebert[/b] und [b]Th.[/b] [b]Orendt. [/b]Eine zentrale Rolle bei einfachen Berechnungen spielen dabei die auf [b]PLÜCKER [/b]und [b]GRASSMANN[/b] zurückgehenden Rechenmethoden mit Hilfe der Determinanten und Unterdeterminanten.[br][br][size=100][color=#0000ff][i][b]Wie rechnet man sinnvoll mit Kreisen?[br][/b][/i][/color][/size][br]Mit [i]kartesischen Koordinaten[/i] ergeben sich die oben beschriebenen Unterscheidungsprobleme [color=#0000ff][i][b]Kreis[/b][/i][/color] - [color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i][/color].[br]Mit den [i]komplexen Koordinaten[/i] der [b]GAUSS[/b]schen Zahlenebene [math]\mathbb{C}[/math] wird manches leichter: [size=100][b]Division durch 0 [/b][/size]ist plötzlich bei gebrochen-rationalen Transformationen [math]z\mapsto\frac{a\cdot z+b}{c\cdot z+d}[/math] erlaubt! Die Punkte der Möbius-Ebene sind hier die [color=#38761D][i][b]Punkte[/b][/i][/color] einer komplexen projektiven Geraden.[br]In [color=#980000][b]ge[/b][/color][icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon][color=#980000][b]gebra[/b][/color] bleibt weiterhin der (fundamentale?) Unterschied zwischen [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratline.png[/icon] und [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon].[br]Wir greifen einen möbius-geometrischen Sachverhalt heraus: [br][/size][list][*][size=85]Zu 4 verschiedenen [color=#38761D][i][b]Punkten[/b][/i][/color] gibt es 4 paarweise [color=#0000ff][i][b]orthogonale Kreise[/b][/i][/color], mit denen sich die Lage der [color=#38761D][i][b]Punkte[/b][/i][/color] möbius-geometrisch eindeutig charakterisieren lassen.[/size][/*][/list][size=85]Die Konstruktion dieser Kreise - bzw. ihre Berechnung - ist eine logische Herausforderung: die nötigen Fallunterscheidungen ([color=#ff0000][i][b]Gerade[/b][/i][/color] - [color=#ff0000][i][b]nicht Gerade[/b][/i][/color]) ufern aus![br]Aber auch, wenn man die Möbiusgeometrie im [b]Raum auf einer Kugel [/b]betreibt, ist der Rechenaufwand hoch. Nur als Hinweis: die [b]Möbius-Gruppe[/b] ist dann isomorph zur [b]LORENTZ[/b]-Gruppe: das sind die reellen projektiven Transformationen, die eine Quadrik vom Typ der Kugel invariant lassen. Man muss dann reell projektiv rechnen![br][br]Wir meinen, eine dritte Art der Modellierung kommt der Vorstellung des "[color=#9900ff][b]schön einfach Rechnens[/b][/color]" an nächsten. [/size]

[size=85]Wir projizieren die [color=#0000ff][i][b]Punkte[/b][/i][/color] [math]z\in\mathbb{C}\cup\{\infty\}[/math] auf eine nichtausgeartete [color=#ff0000][i][b]Quadrik[/b][/i][/color] in der komplexen Ebene. Zugrunde liegt dann ein 3-dimensionaler komplexer Vektorraum [math]\mathcal{G}[/math] mit Skalarprodukt und Kreuzprodukt. Es handelt sich einfach um die komplexe Version des euklidischen Vektorraums, welcher längst zum vertrauten Schulstoff gehört. Gleichsinnige Möbius-Transformationen sind die komplex-linearen Abbildungen, welche die symmetrische Bilinearform invariant lassen. [br]Die Gruppe der gleichsinnigen [b]Möbius-Transformationen[/b] ist isomorph zu [math]\mathbf{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)_{\left\{\mathbf{id},-\mathbf{id}\right\}}[/math], wie zu [math]\mathbf{SO}\left(3,1,\mathbb{R}\right)[/math] ([b]LORENTZ[/b]-Gruppe), aber eben auch zu [math]\mathbf{SO}\left(3,\mathbb{C}\right)[/math].[br]Es mag zunächst scheinen, als wäre die geometrische Deutung der Objekte in dieser komplexen Modellierung schwieriger. [br]Das konkrete [i][b]Übertragungsprinzip[/b][/i] wird auf der [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/hcb5ubvt]nächsten [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Seite[/url] vorgestellt.[br]Denkt man sich die Punkte [math]z\in\mathbb{C}[/math] stereographisch auf die [b]RIEMANN[/b]sche Zahlenkugel projiziert, so kann man sich die isotropen Vektoren [math]\mathbf\vec{p}(z):=\frac{z^2}{2}\cdot \mathbf\vec{p}_\infty+z\cdot\mathbf\vec{g}_0+\mathbf\vec{p}_0 [/math], hier abgekürzt als [math]\left[z\right][/math] dargestellt, als [color=#ff7700][i][b]Berührgeraden[/b][/i][/color], bzw. Tangentialvektoren an die Kugel vorstellen. [br]Die komplexe Multiplikation [math]e^{i\cdot\varphi}\cdot\left[z\right][/math] ist dann einfach die Drehung der Tangente, bzw. des Tangentialvektors um [math]\varphi[/math].[br]Das komplexe Kreuzprodukt [math]\left[z_1\right]\otimes\left[z_2\right]=:\left[z_1,z_2\right][/math], hier aus guten Gründen mit den [b]LIE[/b]-Klammern dargestellt, repräsentiert die [color=#ff7700][i][b]Verbindungsgerade[/b][/i][/color] der 2 Punkte auf der RIEMANNschen Zahlenkugel; [math]i\cdot\left[z_1,z_2\right][/math] repräsentiert die [color=#ff7700][i][b]polare Gerade[/b][/i][/color].[br][br]Der komplexe Vektorraum [math]\mathcal{G}[/math] ist mit der quadratischen Form [math]\bullet[/math] und dem Kreuz-Produkt, sprich [b]LIE[/b]-Produkt [math]\left[\;,\;\right][/math] die [b]LIE[/b]-Algebra der [b]Möbius-Gruppe[/b]. [br][br]Zur [color=#0000ff][i][b]Lage von 4 verschiedenen Punkten[/b][/i][/color] [math]z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C}[/math]: Man kann sie auf 3 Weisen paarweise verbinden:[br][list][*][math]g_{12}:=\left[z_1,z_2\right],\;g_{34}:=\left[z_3,z_4\right]\mbox{ bzw. }g_{13}:=\left[z_1,z_3\right],\;g_{24}:=\left[z_2,z_4\right]\mbox{ bzw. }g_{14}:=\left[z_1,z_4\right],\;g_{23}:=\left[z_2,z_3\right][/math][br][/*][/list]Nach den Regeln des Kreuzprodukts, welche genau die Regeln des [b]LIE[/b]-Produkts sind, sind die 3 komplexen Vektoren[br][list][*] [math]g_{1234}:=\left[g_{12},g_{34}\right]\mbox{ und } g_{1324}:=\left[g_{13},g_{24}\right]\mbox{ und } g_{1423}:=\left[g_{14},g_{23}\right][/math] [i][b]paarweise orthogonal [/b][/i][br]und es gilt beispielsweise [math]g_{12}\bullet g_{1234}=0\mbox{ und } g_{34}\bullet g_{1234}=0[/math] ...[br][/*][/list]Hieraus folgt, dass die Schnittpunkte der 3 [color=#ff7700][i][b]Geraden[/b][/i][/color] [math]g_{1234},\;g_{1324}\mbox{ und }g_{1423}[/math] mit der Möbiusquadrik auf 3 paarweise orthogonalen [color=#0000ff][i][b]Kreisen[/b][/i][/color] liegen, und dass sie die 4 vorgegebenen Punkte paarweise harmonisch trennen.[br]Damit ist die Darstellung auf der [color=#980000][i][b]book[/b][/i][/color]-Seite [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/acch7tpp][i][b]4 Punkte stereographisch[/b][/i][/url] rechnerisch begründet.[br][br]Zur Rechnung benötigt werden nur: [color=#ff00ff][i][b]komplexes Skalarprodukt[/b][/i][/color], [color=#ff00ff][i][b]komplexes Kreuzprodukt[/b][/i][/color] und die [color=#ff00ff][i][b]Lösung komplexer quadratischer Gleichungen[/b][/i][/color]![br][br]Unsere Versuche, in [color=#980000][i][b]ge[icon]/images/ggb/toolbar/mode_conic5.png[/icon]gebra[/b][/i][/color] mit komplexen Vektoren zu rechnen, sind vor geraumer Zeit kläglich gescheitert. Ob sich in dieser Hinsicht etwas geändert hat, haben wir bisher nicht geprüft.[br]In der von [i][b]J. Gebert-Richter [/b][/i]und [i][b]U. H. Kortenkamp[/b][/i] entwickelten und inzwischen nicht mehr gepflegten Software [color=#9900ff][i][b]Cinderella[/b][/i][/color] war das Rechnen mit komplexen Vektoren problemlos möglich. Dafür waren 3D-Darstellungen nur schwer möglich. [br]Wir vermuten, dass [i][b]komplexe Vektorrechnung[/b][/i] und [i][b]reelle analythische Geometrie[/b][/i] sich gegenseitig in die Quere kommen und behindern.[br][br][color=#0000ff][i][b]Bemerkungen zur LIE-Algebra der Möbius-Gruppe:[br][/b][/i][/color][br]Die komplexen Vektoren aus [math]g \in\mathcal{G}[/math] können gedeutet werden als [i][b]Infinitesimale Erzeugende[/b][/i] von Einparametrigen [i][b]Untergruppen[/b][/i] der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Gruppe[/b][/i][/color]:[br]Die lineare Abbildungen [math]\mathbf{ad}\,g:p\mapsto \mathbf{ad}\,g\cdot p:=\left[g,p\right]\mbox{ für }g,p\in \mathcal{G}[/math] erzeugen [br]die Einparameter Gruppen [math]t\mapsto exp\left(t\cdot \mathbf{ad}\,g\right)[/math], reell: [math]t\in\mathbb{R}[/math], oder komplex: [math]t\in\mathbb{C}[/math].[br]Für reelles [math]t[/math] sind die [color=#ff7700][i][b]Bahnkurven [/b][/i][/color]dieser Bewegungsgruppen [br][list][*]die Kreise des zugehörigen [i][b][color=#0000ff][size=85][i][b]elliptischen[/b][/i][/size][/color] Kreisbüschels[/b][/i] durch die Grundpunkte, [br]wenn [math]g[/math] eine Schnittgerade repräsentiert, [br]die Kreise des Büschels schneiden sich in den Grundpunkten.[/*][*]die Kreise des zugehörigen [i][b][color=#ff0000][size=85][i][b]hyperbolischen[/b][/i][/size][/color] Kreisbüschels[/b][/i], wenn [math]g[/math] eine Gerade repräsentiert, [br]welche die Zahlenkugel nicht schneidet, die Kreise des Büschels schneiden sich nicht.[/*][*]die Kreise des zugehörigen [i][b]parabolischen Kreisbüschels[/b][/i], wenn [math]g[/math] eine Berührgerade ist.[/*][*]Ist [math]g[/math] eine Schnittgerade, so erzeugt die Infinitesimale Erzeugende [math]e^{i\cdot\varphi}g[/math] als Bahnkurven [br]Kurven, welche das elliptische Kreisbüschel unter dem Winkel [math]\varphi[/math] schneiden. [br]Wir nennen diese Kurven [color=#0000ff][i][b]Loxodrome[/b][/i][/color], auch wenn [br]die Windungspunkte nicht diametral auf der Zahlenkugel liegen. [br][/*][/list][/size]