Para la aplicación de lo establecido anteriormente se utilizarán ejercicios planteados en el texto Estadística y Muestreo del autor Ciro Martínez Bencardino.

Si un tercio de los estudiantes de un curso de contabilidad son repitentes, calcule la probabilidad de que en una muestra al azar de cuatro estudiantes:[br][list=1][*]no más de dos sean repitentes.[br][/*][*]al menos uno no sea repitente.[/*][/list]

[b]1. Datos[/b]   [br][list][*]Se establece la muestra de 4 estudiantes. n=4[/*][*]La probabilidad de éxito esta determinada por la fracción 1/3 y al transformar a decimales es 0,33. p=0,33.[/*][*]La probabilidad de fracaso es el complemento de la probabilidad de éxito por ende q=1-p. q=0,67.[/*][*]La condición de número de ocurrencia se establece menores iguales de 2, es decir [math]x\le2[/math][br][/*][/list][br][b]Desarrollo[/b] [br][math]P\left(x\le2\right)=P\left(x=0\right)+P\left(x=1\right)+P\left(x=2\right)[/math][br][br][math]P\left(x\le2\right)=\left[\frac{4!}{\left(4-0\right)!0!}\cdot\left(0,33\right)^0\cdot\left(0,67\right)^4\right]+\left[\frac{4!}{\left(4-1\right)!1!}\cdot\left(0,33\right)^1\cdot\left(0,67\right)^3\right]+\left[\frac{4!}{\left(4-2\right)!2!}\cdot\left(0,33\right)^2\cdot\left(0,67\right)^2\right][/math][br][br][math]P\left(x\le2\right)=\left(1\cdot1\cdot0,2015\right)+\left(4\cdot0,33\cdot0,3007\right)+\left(6\cdot0,1089\cdot0,4489\right)[/math][br][br][math]P\left(x\le2\right)=0,2015+0,3969+0,2933[/math][br][br][math]P\left(x\le2\right)=0,8917[/math] A este valor se lo multiplica por 100 para expresarlo en modo de porcentaje.[br][br][math]P\left(x\le2\right)=89,17\%[/math][br][br]

[b]2. [br]Datos[/b]   [br][list][*]Se establece la muestra de 4 estudiantes. n=4[/*][*]La probabilidad de fracaso esta determinada por la fracción 1/3 y al transformar a decimales es 0,33. q=0,33.[/*][*]La probabilidad de éxito es el complemento de la probabilidad de fracaso por ende p=1-q. p=0,67.[/*][*]La condición de número de ocurrencia se establece como mayor igual a 1, es decir [math]x\ge1[/math][br][/*][/list][br][b]Desarrollo[/b] [br]En este caso utilizamos el complemento de la probabilidad de éxito es decir las variables para que se de fracaso.[br][br][math]P\left(x\ge1\right)=1-\left[P\left(x=0\right)\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge1\right)=1-\left[\frac{4!}{\left(4-0\right)!0!}\cdot\left(0,67\right)^0\cdot\left(0,33\right)^4\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge1\right)=1-\left[1\cdot1\cdot0,01185921\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge1\right)=0,9881[/math] A este valor se lo multiplica por 100 para expresarlo en modo de porcentaje.[br][br][math]P\left(x\ge1\right)=98,81\%[/math][br][br]

Se sabe que el 70% de los miembros de la universidad son fumadores; en una muestra aleatoria de 18 fumadores, ¿ cuál es la probabilidad de que haya exactamente 16 fumadores? (utilizar tabla).

[b]Datos[/b]   [br][list][*]Se establece la muestra aleatoria de 18 fumadores. n=18[/*][*]La probabilidad de éxito esta determinada por el porcentaje de 70% y al transformar a decimales es 0,7. p=0,7.[/*][*]La probabilidad de fracaso es el complemento de la probabilidad de éxito por ende q=1-p. q=0,3.[/*][*]La condición de número de ocurrencia se establece en 16 fumadores, es decir x=16.[br][/*][/list][br][b]Desarrollo[/b] [br][math]P\left(x=16\right)=P\left(x=16\right)[/math][br][br][math]P\left(x=16\right)=\left[\frac{18!}{\left(18-16\right)!16!}\cdot\left(0,7\right)^{16}\cdot\left(0,3\right)^2\right][/math][br][br][math]P\left(x=16\right)=\left(\frac{18\cdot17\cdot16!}{2!\cdot16!}\right)\cdot\left(3,3234\ast10^{-3}\right)\cdot0,09[/math][br][br][math]P\left(x=16\right)=153\cdot\left(2,99\ast10^{-4}\right)[/math][br][br][math]P\left(x=16\right)=0,0458[/math] A este valor se lo multiplica por 100 para expresarlo en modo de porcentaje.[br][br][math]P\left(x=16\right)=4,58\%[/math][br][br]

En una población de trabajadores del Estado, que gozan pensión de jubilación, el 36% tiene más de 65 años. ¿ Cuál es la probabilidad, en una muestra de 18 pensionados, de que 15 o más tengan más de 65 años?

[b]Datos[/b]   [br][list][*]Se establece la muestra de 18 pensionados. n=18[/*][*]La probabilidad de éxito esta determinada por el porcentaje de 36% y al transformar a decimales es 0,36. p=0,36.[/*][*]La probabilidad de fracaso es el complemento de la probabilidad de éxito por ende q=1-p. q=0,64.[/*][*]La condición de número de ocurrencia se establece en mayor igual a 15 pensionados, es decir [math]x\ge15[/math].[/*][/list][b]Desarrollo[/b] [br][math]P\left(x\ge15\right)=P\left(x=15\right)+P\left(x=16\right)+P\left(x=17\right)+P\left(x=18\right)[/math][br][br][math]P\left(x\ge15\right)=\left[\frac{18!}{\left(18-15\right)!15!}\cdot\left(0,36\right)^{15}\cdot\left(0,64\right)^3\right]+\left[\frac{18!}{\left(18-16\right)!16!}\cdot\left(0,36\right)^{16}\cdot\left(0,64\right)^2\right]+\left[\frac{18!}{\left(18-17\right)!17!}\cdot\left(0,36\right)^{17}\cdot\left(0,64\right)^1\right]+\left[\frac{18!}{\left(18-18\right)!18!}\cdot\left(0,36\right)^{18}\cdot\left(0,64\right)^0\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge15\right)=\left[\frac{18\cdot17\cdot16\cdot15!}{3\cdot2!15!}\cdot\left(2,21\ast10^{-7}\right)\cdot\left(0,262\right)\right]+\left[\frac{18\cdot17\cdot16!}{2!16!}\cdot\left(7,959\ast10^{-8}\right)\cdot\left(0,4096\right)\right]+\left[18\cdot\left(2,865\ast10^{-8}\right)\cdot0,64\right]+\left[1\cdot\left(1,0314\ast10^{-8}\right)\cdot1\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge15\right)=\left[816\cdot\left(5,793\ast10^{-8}\right)\right]+\left[153\cdot\left(32,60\ast10^{-9}\right)\right]+\left[\left(3,301\ast10^{-7}\right)\right]+\left[\left(1,0314\ast10^{-8}\right)\right][/math][br][br][math]P\left(x\ge15\right)=\left(4,7271\times10^{-5}\right)+\left(4,9878\times10^{-6}\right)+\left(3,40414\times10^{-7}\right)[/math] [br][br][math]P\left(x\ge15\right)=5,2599\times10^{-5}[/math] A este valor se lo multiplica por 100 para expresarlo en modo de porcentaje.[br][br][math]P\left(x\ge15\right)=0,0052\%[/math][br][br]