[br]反転は、高校までの数学ではあまり触れることもなく、わかりやすい特徴もあまり多くはありませんが、その分不思議で魅力的な性質を持っています。[br][br]下のポスリエの反転器の赤い点を動かして、青い点の動きを見てみましょう。[br]点線は反転の基準となる円で、この上で2点は重なります。

次の図は、赤い点の動きを、（原点を通る）円を描くリンク機構によって制限したものです。青い点が直線を描いていることを確かめてみましょう。

実は、反転器を作る方法は他にもいくつかあり、中にはねじれ平行四辺形を利用したものもあります。[br]ねじれ平行四辺形のリンク途中に点を付しただけの、ポスリエ反転器と比べてもシンプルなものです。[br]ポスリエの反転器と同じく、発見者の名前から、ハートの反転器と呼びます。[br]

以下に、これが反転器となることの大まかな証明を記します。[br][br][br]下の図ではリンクの中点に点を置いていますが、必ずしもその必要はありません。[br]反転器となる条件は、3点 O, X, Y の通る直線が、直線 AC 及び BD と平行になることで、[br]言い換えると、[br]AO : OB = AX : XD = CY : YB [br]が成り立つことです。[br]（直線 AC と直線 BD が平行であることは、[br]三角形 ABD と三角形 CDB が合同であることから分かります。）[br][br]

[br]上の図の赤いリンクは、ポスリエの反転器と同じ構造になっています。つまり、 BE[math]\cdot[/math]BDの値が一定であることが、ポスリエの反転器と同じようにして分かります。[br][br]①AC = BE より、AC[math]\cdot[/math]BD も一定です。[br][br]②三角形 BOY と BAC の相似から、 OY : AC が一定であることが分かります。[br]よって、定数 m を用意して、OY = m[math]\cdot[/math]AC と書けます。[br][br]③同様に、三角形 AOX と ABD の相似から、 OX : BD が一定であることが分かり、[br]定数 n を用意して、 OX = n[math]\cdot[/math]BD と書けます。[br][br]①、②、③より、[br]OX[math]\cdot[/math]OY = (n[math]\cdot[/math]BD)[math]\cdot[/math](m[math]\cdot[/math]AC) = n[math]\cdot[/math]m[math]\cdot[/math](AC[math]\cdot[/math]BD)[br]n、m、AC[math]\cdot[/math]BD はいずれも一定と分かっているので、[br]OX[math]\cdot[/math]OY も一定であることが分かりました。

さらに、これでねじれ平行四辺形の支柱がうまく働くことも示せます。[br]というのも、図に示した支柱もまた、ポスリエの反転器と同じ構造になっているのです。[br]そのため、十分な長さを取れば、[br]この支柱によって、リンク機構の動きが制限されることはありません。[br][br][br]また、点 G は「点 X, Y から等距離」かつ「点 O, F から等距離」なので、[br]線分 XY と線分 OF それぞれの垂直二等分線上にあることが必要となります。[br][br]平行四辺形の場合、点 X, Y 及び O, F のある辺は対辺同士となるので、[br]点 G が存在できる点は対角線の中点しかありません。[br][br]よって、ねじれ平行四辺形が潰れたとき、[br]点Gがねじれ平行四辺形の上に乗っていなければ、そこから平行四辺形に変化することはありません。[br][br][br]平行四辺形への変化を防ぎつつ、動きを制限することもない、ということから、[br]これが支柱としてうまく働くことがわかりました。