Grenzwertverhalten

Schreibweise des Grenzwertes

Im vorangegangenen Abschnitt habt ihr das Verhalten von ganzrationalen Funktionen in Abhängigkeit vom Koeffizienten der höchsten Potenz kennengelernt.[br]Wir schreiben den Grenzwert für eine Funktion [math]f\left(x\right)=x^2[/math] wie folgt auf:[br][br][math]\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=\infty[/math] . Dies wird gelesen als:[br][br][table][tr][td][math]\lim[/math][/td][td][math]x\rightarrow\infty[/math][/td][td][math]f\left(x\right)[/math][/td][td][math]=[/math][/td][td][math]\infty[/math][/td][/tr][tr][td]Limes von[/td][td]x gegen unendlich[/td][td]von f von x[/td][td]ist gleich[/td][td]unendlich.[/td][/tr][/table]

Teste dich selbst!

Wie wird [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty[/math] vorgelesen?

Verallgemeinerung des Grenzwertverhaltens

Wir können das Grenzwertverhalten in Abhängigkeit des Koeffizienten der höchsten Potenz in Regeln formulieren, die in der untenstehenden Tabelle formuliert sind.

[table][tr][td][/td][td]Grad [math]n[/math] gerade[br]([math]n=0,2,4,...[/math])[br][br][/td][td]Grad [math]n[/math] ungerade[br]([math]n=1,2,3,5,...[/math])[br][/td][/tr][tr][td]Koeffizient [math]a_n[/math] positiv[/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[br][br][/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=3x^4-2x^2+4[/math][br][br][/color][/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=4x^3+7x^2-x+2[/math][br][br][/color][/td][/tr][tr][td]Koeffizient [math]a_n[/math] negativ[/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=-2x^6+3x^5-x^3-1[/math][/color][/td][td][math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math][br][math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math][br][color=#1e84cc]Beispiel: [math]f\left(x\right)=-2x^3+x^2+x-5[/math][/color][/td][/tr][/table]

Beispiel: Vorgehen bei der Bestimmung des Grenzwertverhaltens

Aufgabe: Sei [math]f\left(x\right)=-4x^5+2x^2-10[/math]. Bestimme das Verhalten für [math]x\rightarrow\infty[/math] und [math]x\rightarrow-\infty[/math].[br]Lösung:[br]Wir suchen den Grad der Funktion, das ist die höchste Potenz.[br]Die Potenz ist die hochgestellte Zahl über dem [math]x[/math].[br]Damit ist die höchste Potenz [math]5[/math], der zugehörige Term lautet [math]-4x^5[/math].[br][br]Nehme nun die Zahl vor dem [math]x[/math], [math]-4[/math]. Dies ist der gesuchte Koeffizient.[br][br]Wir haben also den Grad der Funktion [math]5[/math] und den Koeffizienten [math]-4[/math].[br]Damit ist der Grad [i]ungerade[/i] und der Koeffizient [i]negativ.[br][/i]Wir können also in der obigen Tabelle nachschauen und die Grenzwerte ablesen:[br][math]\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math] und [math]\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\infty[/math][i].[br][/i]

Teste dich! - Teil 1

Bestimmen Sie das Grenzwertverhalten für die Funktion [math]f\left(x\right)=-2x^4+3x^3-7x[/math].

[math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=+\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}f\left(x\right)=-\infty[/math]

Teste dich! - Teil 2

Bestimmen Sie das Grenzwertverhalten für die Funktion [math]g\left(x\right)=-2x^3+3x^5-10[/math].

[math]\lim_{x\to\infty}g\left(x\right)=-\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}g\left(x\right)=-\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}g\left(x\right)=+\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}g\left(x\right)=-\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}g\left(x\right)=+\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}g\left(x\right)=+\infty[/math] [math]\lim_{x\to\infty}g\left(x\right)=-\infty[/math], [math]\lim_{x\to-\infty}g\left(x\right)=+\infty[/math]