Gegeben sind zwei Ebenen, deren Ebenengleichung nach einem bestimmten Muster aufgebaut sind. Wir wollen im Folgenden solche "besonderen" Ebenen betrachten.
Erkläre, warum sich die beiden Ebenen schneiden.
Die Normalenvektoren der Ebenen sind nicht kollinear.
Die Ebenengleichungen e1 und e2 sind nach einem additiven Muster aufgebaut. Gib das Muster an.
Die Ebenengleichung e1 startet bei 2 und addiert jeweils 1. Die Ebenengleichung e2 startet bei -3 und addiert jeweils 4.
Ermittle mithilfe eines passenden Werkzeugs die Schnittgerade der beiden Ebenen. Gib die Geradengleichung an.
Ermittle rechnerisch die Schnittgerade.
Verändere in dem unteren Applet eine Ebenengleichung nach einem beliebigen additiven Muster, z. B. [math]x-2y-5z=-8[/math]. [br]Was stellst du bezüglich der Lage der Ebenen fest? Bestimme mithilfe des Werkzeugs die Schnittgerade.[br]Wiederhole den Vorgang.
Die Ebenen schneiden sich und die Schnittgerade ändert sich nicht.
Mithilfe der Schieberegler a und p kannst du einen Koeffizienten einer Ebenengleichung und die additive Konstante verändern.[br]Verändere zunächst den Koeffizienten a der Ebenengleichung. Was stellst du bezüglich der Schnittgeraden der Ebenen fest?[br]Verändere nun die additive Konstante der Ebenengleichung. Was stellst du bezüglich der Schnittgeraden der Ebenen fest?
Die Ebenen schneiden sich unabhängig von der Wahl der Parameter a und p scheinbar in einer Geraden.
Zeige, dass [math]\(g:\,\vec{x}=\left(\begin{matrix}-2\\3\\0\end{matrix}\right)+\lambda\cdot\left(\begin{matrix}1\\-2\\1\end{matrix}\right)\)[/math] eine Schnittgerade der Ebenen ist.[br]
Füge eine dritte Ebene dem unteren Applet hinzu, die nach einem additiven Muster aufgebaut ist. Was stellst du fest?
Die Ebenen schneiden sich alle in einer Geraden. Nämlich der Schnittgeraden von vorher!
Um den Schnitt dreier Ebenen zu bestimmen, musst du ein lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen mit drei Unbekannten lösen. Was bedeutet deine Beobachtung für die Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems?
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Zwei Gleichungen des Gleichungssystems sind nach einer Umformung identisch!
Du hast in einer der früheren Klassenstufen Lineare Gleichungssysteme von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten behandelt. Jede Gleichung beschreibt eine Gerade.[br]Betrachte nun ein additives Muster in diesem zweidimensionalen Fall. Gib eine allgemeine Geradengleichung nach einem additiven Muster ein. Was vermutest du?
Alle Geraden schneiden sich in einem Punkt.
Weise deine Vermutung rechnerisch nach! Kannst du das auch für den allgemeinen Fall mit der Geraden [math]\(a\cdot x+(a+p)\cdot y=a+2p\)[/math] und der Geraden [math]2x+3y=4[/math]?[br]Gib die Gleichung [math]\(a\cdot x+(a+p)\cdot y=a+2p\)[/math] so in das Algebra-Fenster des GeoGebra-Applets ein und variiere die Schieberegler.