Beispielsaufgabe: Fehlenden Eckpunkt eines Parallelogramms bestimmen

[b]Wie muss der Punkt D lauten, sodass er zusammen mit A(4|0|0), B(-7|0|6), C(3|8|-2) das Parallelogramm ABCD bildet?[/b][br][br]Bei einem Parallelogramm sind die Seiten gleich lang und parallel. Entsprechend gilt für die Verbindungsvektoren der Eckpunkte beim Parallelogramm ABCD:[br][br][math]\vec{AB}=\vec{DC}[/math] und [math]\vec{AD}=\vec{BC}[/math][br][br]D.h unter anderem, dass man den Vektor, der von A nach D zeigt, wenn man ihn in A platziert, ausrechnen kann:[br][br][math]\vec{AD}=\vec{BC}=\left(\begin{matrix}3-\left(-7\right)\\8-0\\\left(-2\right)-6\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\\-8\end{matrix}\right)[/math][br][br]Da wir die Koordinaten von A kennen, kennen wir auch den Ortsvektor von A, also einen Vektor, der vom Ursprung (0|0|0) direkt zu A zeigt, wenn man ihn dort platziert:[br][br][math]\vec{r_{_A}}=\left(\begin{matrix}4\\0\\0\end{matrix}\right)[/math][br][br]Wenn wir nun an den im Ursprung platzierten Vektor [math]\vec{r_{_A}}[/math] den Vektor [math]\vec{AD}[/math] anhängen, sprich [math]\vec{r_{_A}}+\vec{AD}[/math] rechnen, erhalten wir als resultierenden Vektor natürlich einen Vektor, der vom Pfeilende von [math]\vec{r_{_A}}[/math], also vom Ursprung (0|0|0), zur Pfeilspitze von [math]\vec{AD}[/math] , also zum Punkt D, zeigt. Das ist gerade der Ortsvektor von D, dessen Komponenten die Koordinaten von D sind! Sprich:[br][br][math]\vec{r_{_D}}=\vec{r_{_A}}+\vec{AD}=\left(\begin{matrix}4\\0\\0\end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix}10\\8\\-8\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\8\\-8\end{matrix}\right)[/math] [math]\Rightarrow[/math] [color=#ff0000][b]D(14|8|-8)[br][br][/b][/color][color=#ff00ff]Hier unterhalb ist das Ganze in einem Applet veranschaulicht. [br]Um das erhaltene Parallelogramm klarer zu sehen, kann man links im "Eingabelog" durch Klicken auf die Kreise jeweils alles (ausser vielleicht die Eckpunkte A,B,C und D) ausblenden und die ausgeblendeten Seitenlängen einblenden.[/color]

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