Exponentialfunktionen 5

Fassen wir zunächst wieder die bisherigen Ergebnisse zusammen:[br][list][*]Wir betrachten Exponentialfunktionen [math]f\left(x\right)=C\cdot a^x[/math] mit [math]a>0[/math] und bilden den Differenzenquotienten [math]m_h\left(x\right)=\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}[/math]. [br][/*][*]Es zeigt sich, dass [math]m_h\left(x\right)[/math] zu [math]f\left(x\right)[/math] proportional ist: [math]m_h\left(x\right)=k_h\cdot f\left(x\right)[/math] mit dem konstanten Faktor [math]k_h=\frac{a^h-1}{h}[/math]. [br][/*][*]Numerische Untersuchungen lassen vermuten, dass der Grenzwert [math]k=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}[/math] für alle reellen Zahlen [math]a>0[/math] existiert. Dies setzen wir im folgenden zunächst ohne Beweis als gegeben voraus.[/*][*]Damit ist f differenzierbar und an jeder Stelle [math]x[/math] gilt [math]f'\left(x\right)=k\cdot f\left(x\right)[/math] .[/*][*]Die Besonderheit: [math]f'[/math] und [math]f[/math] sind zueinander proportional. Kennt man die Ableitung an [i]einer [/i]Stelle, dann kennt man sie auch an [i]jeder [/i]anderen. [/*][/list]Wir nennen [math] k=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}[/math] die [b]Wachstumskonstante der Exponentialfunktion zur Basis a[/b]. [br]Bei radioaktivem Zerfall heißt |k| die [b]Zerfallskonstante[/b].

Aufgabe 1

Sei f eine Exponentialfunktion mit dem Anfangswert C und der Basis a > 0 und sei [math]k=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}[/math] ihre Wachstumskonstante. Welche der folgenden Aussagen sind wahr:

Je größer der Anfangswert C ist, desto größer ist k. Für a = 1 ist k = 0. Wenn man den Anfangswert C verdoppelt, verdoppelt sich an jeder Stelle die Tangentensteigung. Wenn man die Basis a verdoppelt, verdoppelt sich auch k. Jede Exponentialfunktion hat eine Nullstelle. Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist ebenfalls eine Exponentialfunktion. Die Graphen der Exponentialfunktionen mit den Basen a und 1/a sind bei gleichen Anfangswerten zueinander achsensymmetrisch. Die Differenz f(x+h) - f(x) kann für kleine Werte von h näherungsweise durch k · h · f(x) berechnet werden.

Aufgabe 2

Sei f eine Exponentialfunktion mit dem Anfangswert C und der Basis a > 0. Sei [math]k=\lim_{h \rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}[/math] ihre Wachstumskonstante.[br][br]a) Betrachten Sie für eine beliebige Stelle x die vier Zahlen f(x), f'(x), f(x+1) und f'(x+1). Stellen Sie in einem Diagramm dar, in welcher Beziehung diese vier Zahlen zueinander stehen.[br][br]

b) Bestimmen Sie das Vorzeichen von k in Abhängigkeit von a.[br][br]

c) Zeigen Sie: [math]k=\frac{f'\left(0\right)}{C}[/math]. [br][br]

d) Zeigen Sie für a ≠ 1: Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 0 hat bei x = -1/k eine Nullstelle.[br]

e) Zeigen Sie, dass durch F(x) = (1/k) · f(x) eine Stammfunktion F von f gegeben ist. Folgern Sie daraus: [math]k=\frac{f\left(x+1\right)-f\left(x\right)}{\int_x^{x+1}f\left(t\right)dt}[/math] und interpretieren Sie diesen Quotienten analog zu Aufgabe 2c) des Arbeitsblattes "Exponentialfunktionen 3".

Aufgabe 3

Offensichtlich hängt die Wachstumskonstante [math]k=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{a^h-1}{h}[/math], die wir bisher nur näherungsweise bestimmen können, nur von der Basis a und nicht vom Anfangswert C ab. Im Folgenden soll die Beziehung zwischen a und k genauer untersucht werden Dazu setzen wir der Einfachheit halber C=1. [br][br]Die Aussage von Aufgabe 2 d) liefert die Grundlage für ein grafisches Verfahren zur Bestimmung von k, das im folgenden Applet angewendet werden soll. Sie sehen dort den Graphen von f(x) = a[sup]x[/sup], zunächst für a = 2, und die Tangente an der Stelle 0. [br]

a) Lesen Sie die Nullstelle der Tangente möglichst genau ab, bestimmen Sie daraus k und geben Sie den Wert in Zelle B2 der Tabelle ein.[br][br]Tipp: Sie können den Graphen in einer Umgebung der Nullstelle stark zoomen. In die Tabelle kann man einen Rechenausdruck für k eingeben, der den abgelesenen Wert enthält.[br]

b) Machen Sie den Zoom wieder rückgängig. Verändern Sie a und beobachten Sie die Auswirkungen.[br][br]Setzen Sie nun a auf den Wert 4 und wiederholen Sie Teil a).[br][br]Tipp: [br]Mit einem Links- und anschließenden Rechtsklick auf den Hintergrund des Diagramms können Sie den Befehl "Standard-Ansicht" aufrufen, um den Zoom schnell rückgängig zu machen. [br]Statt den Schieberegler zu benutzen, können Sie auch "a =4" in die Eingabezeile eingeben.

c) Wiederholen Sie den Vorgang für alle Werte von a, die in der ersten Spalte der Tabelle aufgelistet sind. Tragen Sie die zugehörigen Wachstumskonstanten in die zweite Spalte der Tabelle ein. Erkennen Sie einen Zusammenhang zwischen a und k?[br][br]Klicken Sie auf den nächsten Button "Antworten überprüfen", um einen Tipp anzuzeigen.[br]Klicken Sie auf den übernächsten Button "Antworten überprüfen", um die Antwort anzuzeigen.[br]

Klicken Sie hier auf "Antworten überprüfen", um die Antwort für c) zu überprüfen.

d) Formulieren Sie als Vermutung auf der Grundlage der Beobachtung von c) eine allgemeine Regel, wie sich für einen beliebigen Exponenten b ∈ [math]\mathbb{R}[/math] die Wachstumskonstante zur Basis a[sup]b[/sup] aus der Wachstumskonstanten zur Basis a berechnen lässt. [br]Welche Konsequenz hat das für die Berechnung der Wachstumskonstanten zu einer beliebigen Basis a'?

e) Beweisen Sie die Regel (oder sehen Sie sich den Beweis genau an).[br][br]Tipp: Benutzen Sie bei der Bildung des Grenzwerts für h → 0 die Substitution h' = b · h.

Exponentialfunktionen 5

Aufgabe 1

Aufgabe 2

Aufgabe 3

Information: Exponentialfunktionen 5