GA não é cringe
GA no plano e no espaço
Table of Contents
- Pontos e distância no plano
- Distâncias
- Um triângulo equilátero (ou muitos?)
- Vetores
- Vetores: exercícios de fixação
- Criando vetores
- O que o produto escalar representa?
- Questão sobre projeção ortogonal (gabarito)
- Retas
- Equações paramétricas
- Complete o quadrado
- Completar o Quadrado
- Círculos
- Atividade sobre Círculos - G.A.
- Cônicas
- Questões (muitas) sobre cônicas
- Mais questões sobre cônicas
Distâncias
Multiplicar coordenadas muda a distância?
[list][*]Imagine dois pontos [math]P_1 = (x_1, y_1)[/math] e [math]P_2 = (x_2, y_2)[/math].[/*][*]Chame a distância entre eles de [math]d[/math].[/*][*]Agora, multiplique por [math]2[/math] as quatro coordenadas ([math]x_1, y_1, x_2, y_2[/math]).[/*][*]Qual será a nova distância entre os pontos?[/*][/list]
Exemplos
[list][*]Use o aplicativo abaixo para testar a alternativa que você escolheu.[/*][*]Arraste os pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math] e observe as distâncias [math]d[/math] e [math]d'[/math].[/*][/list]
Exemplos não provam nada
[list][*]Você consegue testar todas as situações possíveis?[/*][*]Existem infinitos pares de pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].[/*][*]Em vez de testar exemplos, vamos trabalhar com [b]pontos genéricos[/b].[/*][*]As coordenadas serão variáveis, não números.[/*][*]Definimos [math]P_1 = (x_1, y_1)[/math] e [math]P_2 = (x_2, y_2)[/math].[/*][/list]
Variáveis representam objetos
Que tipo de objetos são representados por [math]x_1, y_1, x_2, y_2[/math]?
Escreva a expressão para o quadrado da diferença entre as coordenadas [math]x[/math] de [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
Escreva a expressão para o quadrado da diferença entre as coordenadas [math]y[/math] de [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
Escreva a expressão para a distância [math]d[/math] entre [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math].
Escreva as coordenadas do ponto [math]P'_1[/math], que são as coordenadas de [math]P_1[/math] multiplicadas por [math]2[/math].
Escreva as coordenadas do ponto [math]P'_2[/math], que são as coordenadas de [math]P_2[/math] multiplicadas por [math]2[/math].
Substitua as coordenadas de [math]P'_1[/math] e de [math]P'_2[/math] na fórmula da distância para achar a distância [math]d'[/math] entre os novos pontos. [b]Não simplifique nada, ainda.[/b]
[list][*]Dentro do primeiro par de parênteses, coloque o [math]2[/math] em evidência.[/*][*]Faça o mesmo no segundo par de parênteses.[/*][/list]
Eleve os [math]2[/math] ao quadrado e coloque o [math]4[/math] em evidência.
Tire o [math]4[/math] de dentro da raiz quadrada.
Escreva esta expressão para [math]d'[/math] em termos de [math]d[/math].
Você acaba de provar esta igualdade para todos os pontos [math]P_1[/math] e [math]P_2[/math] possíveis.[br][br]Parabéns.
E se multiplicarmos por um número negativo?
[list][*]Usando o [i]link[/i] para o aplicativo no início desta atividade, crie uma cópia do aplicativo (na sua instalação local ou no site do Geogebra).[/*][*]Modifique o aplicativo para multiplicar as coordenadas por [math]-2[/math].[/*][*]Examine vários exemplos. O que acontece com a distância?[/*][*]Repita seu raciocínio, desta vez multiplicando as coordenadas dos dois pontos por [math]-2[/math].[/*][*]Qual a sua conclusão?[/*][/list]
Vetores: exercícios de fixação
Somando
[list][*][b]No aplicativo abaixo,[/b] clique em [b][Reiniciar][/b] para gerar novos vetores.[br][br][/*][*]Você pode movimentar cada vetor arrastando-o pelo ponto em sua origem.[br][br][/*][*]O objetivo é descobrir [b]qual dos vetores r1, r2, ..., r6 é o resultado da soma[/b] do vetor azul [math]\vec v[/math] com o vetor vermelho [math]\vec w[/math].[br][br][/*][*]Escolha a sua resposta selecionando um dos vetores pretos.[br][br][/*][*]Clique em [b][Corrigir][/b] para ver se sua resposta está certa.[br][br][/*][*]Repita até não ter mais dúvidas.[/*][/list]
Subtraindo
[list][*][b]No aplicativo abaixo,[/b] clique em [b][Reiniciar][/b] para gerar novos vetores.[br][br][/*][*]Você pode movimentar cada vetor arrastando-o pelo ponto em sua origem.[br][br][/*][*]O objetivo é descobrir [b]qual dos vetores r1, r2, ..., r6 é o resultado da subtração:[/b] o vetor azul [math]\vec v[/math] menos o vetor vermelho [math]\vec w[/math].[br][br][/*][*]Escolha a sua resposta selecionando um dos vetores pretos.[br][br][/*][*]Clique em [b][Corrigir][/b] para ver se sua resposta está certa.[br][br][/*][*]Repita até não ter mais dúvidas.[/*][/list][br][br]
Multiplicando por escalar
[list][*][b]No aplicativo abaixo,[/b] clique em [b][Reiniciar][/b] para gerar novos vetores.[br][br][/*][*]O objetivo é [b]achar o valor de[/b] [math]k[/math] para que [b]os vetores[/b] [math]\vec w[/math] [b]e[/b] [math]k \cdot \vec v[/math] [b]sejam iguais[/b].[br][br][/*][*]Escreva sua resposta na caixa de texto. Você pode -- e deve -- usar frações.[br][br][/*][*]Clique em [b][Corrigir][/b] para ver se sua resposta está certa.[br][br][/*][*]Repita até não ter mais dúvidas.[/*][/list]
Combinando
[list][*][b]No aplicativo abaixo,[/b] clique em [b][Reiniciar][/b] para gerar novos vetores.[br][br][/*][*]O objetivo é [b]achar os valores de[/b] [math]j[/math] e [math]k[/math] para que[br][br][center][math]\displaystyle \vec w \qquad = \qquad j \cdot \vec{v_1} + k \cdot \vec{v_2}[/math] [/center][br][/*][*]Escreva suas respostas nas caixas de texto. Você pode -- e deve -- usar frações.[br][br][/*][*][b]Dica:[/b] monte e resolva um sistema de duas incógnitas e duas equações.[br][br][/*][*]Clique em [b][Corrigir][/b] para ver se sua resposta está certa.[br][br][/*][*]Repita até não ter mais dúvidas.[/*][/list]
Desafio
[list][*]Neste último aplicativo, existem algumas situações em que os vetores [math]\vec{v_1}[/math] e [math]\vec{v_2}[/math] [b]não admitem valores de[/b] [math]j[/math] [b]e[/b] [math]k[/math] [b]tais que[/b] [math]\vec w = j \cdot \vec{v_1} + k \cdot \vec{v_2}[/math].[br][br][/*][*]Você consegue dizer que situações são estas?[/*][/list]
Equações paramétricas
Equações paramétricas são as mais fáceis
Talvez os passos mais óbvios para traçar uma reta sejam:[br][br][list=1][*]Escolher um ponto inicial[/*][*]Escolher uma direção[/*][/list][br]O ponto inicial sendo dado, podemos representar a direção por um vetor.[br][br]Por exemplo, uma reta definida pelo ponto [math]A=(1,2)[/math] e pela direção do vetor [math]\vec v = (3, -1)[/math] vai ser a seguinte:
Brinque com o controle deslizante de [math]t[/math].[br][br]Entenda que cada valor de [math]t[/math] corresponde a um ponto [math]P[/math] da reta.[br][br]Então, cada ponto [math]P[/math] pode ser escrito como[br][br][center][math]P = A + t \cdot \vec v[/math][/center][br][br]Chamando as coordenadas de [math]P[/math] de [math]x[/math] e [math]y[/math], isto equivale a dizer que[br][br][center][math][br]\begin{cases}[br]x = 1 + 3t \\[br]y = 2 -1t[br]\end{cases}[br][/math][/center][br][br]lembrando que o vetor [math]\vec v = (3, -1)[/math] e que o ponto [math]A=(1,2)[/math].[br][br]Estas são as equações paramétricas da reta desenhada acima.[br][br]O nome é este porque a variável [math]t[/math] serve como um [i]parâmetro[/i].
Onde estão os números?
Olhe para os números nas equações paramétricas da reta acima. [br][list][br][*]Onde estão as coordenadas do ponto [math]A[/math]?[/*][*]Onde estão as coordenadas do vetor [math]\vec v[/math]?[/*][br][/list]
Quais pontos?
[list=1][*]Qual ponto [math]B1[/math] da reta corresponde a [math]t=10[/math]?[/*][*]Qual ponto [math]B2[/math] da reta corresponde a [math]t=0[/math]?[/*][*]Qual ponto [math]B3[/math] da reta corresponde a [math]t=-6[/math]?[/*][/list]
Use a barra de [i]input[/i] no [i]applet[/i] acima para criar os pontos [math]B1[/math] e [math]B3[/math] do exercício anterior. Confirme que eles pertencem à reta.
Outros vetores
Quais outros vetores você poderia usar para definir a mesma reta do [i]applet[/i] acima?
Qual ponto?
Qual ponto da reta tem coordenada [math]x[/math] igual a [math]61[/math]?
Dois pontos e nenhum vetor
E se você só tiver dois pontos diferentes e quiser definir a reta que passa por eles?[br][br]Por exemplo, [math]A=(1,1)[/math] e [math]B=(2, 3)[/math].[br][br]Você precisa achar um vetor que dê a direção desta reta.[br][br]Qual vetor seria um bom candidato?
No Geogebra
Entre na barra de [i]input[/i] do [i]applet[/i] abaixo:[br][br][list][*][code]A = (1, 1)[/code][/*][*][code]B = (2, 3)[/code][/*][*][code]v = vector(A, B)[/code][/*][*][code]r : A + t * v[/code][/*][/list][br][br]Aprecie a reta criada.[br][br]Para ver uma equação paramétrica de [math]r[/math], entre[br][br][list][*][code]text(r)[/code][br][/*][/list][br]Preste atenção na equação que o Geogebra mostra:[br][br][list][*]O ponto genérico da reta, que nós chamamos de [math]P[/math], o Geogebra chamou de [math]X[/math] (maiúsculo).[/*][*]Em vez de usar o ponto [math]A=(1, 1)[/math], o Geogebra usou qual ponto da reta?[/*][*]Em vez de usar [math]t[/math], o Geogebra usou qual variável como parâmetro?[/*][*]Estas mudanças que o Geogebra fez afetam a reta definida?[/*][/list][br][br]Entre comandos para criar uma reta [math]s[/math], [color=#ff0000]paralela a [/color][math]r[/math][color=#ff0000],[/color] que passe pelo ponto [math]C=(3, 2)[/math]. Faça o Geogebra mostrar a equação paramétrica de [math]s[/math].
Completar o Quadrado
Completar quadrados é uma técnica utilizada para escrever expressões do segundo grau na forma [math](x+a)^2+b[/math]. [br][br]Essa forma vai nos facilitar [e muito] no nosso curso de GA. [br][br]Os conceitos usados aqui serão utilizados para achar as formas padrões de equações do círculo, parábolas, hipérboles e elipses.[br][br]Lembre-se de que a forma por extenso de [math](x+a)^2[/math] é [math]x^2+2ax+a^2[/math]. [br][br]Vamos começar com um pequeno exemplo:[br][br]Na equação [math]x^2+8x=-5[/math] podemos completar o quadrado ao adicionar o termo "+16" em ambos os lados da equação:[br][br][math]x^2+8x+16=-5+16[/math][br][br]Agora temos um produto notável do lado esquerdo da equação, que pode ser reescrito como:[br][br][math](x+4)^2=11[/math][br][br]Ou ainda como:[br][br][math](x+4)^2-11=0[/math][br]
Vamos começar com um exercício básico para calibrar nossa mente:
[br]Agora, vamos tentar completar o quadrado com uma expressão um pouquinho mais complicada. [br][br]O coeficiente de [math]x[/math] é diferente de [math]1[/math]. [br][br]Exemplo:[br][br][math]16x^2+40x+\square[/math][br][br]Como o coeficiente de [math]x^2[/math] é diferente de [math]1[/math], vamos transformar esta expressão em outra, da forma [math](ax+b)^2[/math].[br][br]O coeficiente de [math]x^2[/math] é igual a [math]16[/math], portanto o valor de [math]a^2=16[/math], simplificando temos [math]a=4[/math].[br][br]O termo "[math]40x[/math]" equivale ao termo "[math]2abx[/math]" na expansão de [math](ax+b)^2=a^2x^2+2abx+b^2[/math][br][br]Sabendo o valor de [math]a[/math], podemos calcular [math]b[/math]:[br][br][math]40x=2(4)bx\quad\implies\quad40x=8bx\quad\implies\quad40=8b\quad\implies\quad b=5[/math][br][br]O termo que completa o quadrado na expressão acima é [math]b^2=5^2=25[/math].[br][br]A expressão vai ficar[br][br][math]16x^2 + 40x + 25 - 25[/math][br][br]que é igual a[br][br][math](4x + 5)^2 - 25[/math][br][br][b]Dica:[br][/b][br]Não tente resolver tudo de cabeça, use um lápis e um pedaço de papel.
[br]Outra maneira possível de completar o quadrado de [br][br][math]16x^2+40x+\square[/math][br][br]é colocar o [math]16[/math] em evidência para fazer com que o coeficiente do [math]x[/math] (dentro dos parênteses) fique igual a [math]1[/math]:[br][br][math]16x^2+40x+\square \quad=\quad 16\left(x^2 + \frac{40}{16}x\right) + \square \quad=\quad 16\left(x^2 + \frac{5}{2}x\right) + \square[/math][br][br]Não tenha medo de frações.[br][br]Agora, complete o quadrado dentro dos parênteses:[br][br][math]\frac52x = 2bx \quad \implies\quad \frac52 = 2b \quad\implies\quad b = \frac54[/math][br][br]O termo que completa o quadrado é [math]\left(\frac54\right)^2 = \frac{25}{16}[/math].[br][br]Agora, atenção: tudo que está entre parênteses está multiplicado por [math]16[/math]; então você deve subtrair (fora dos parênteses) [math]16 \cdot \frac{25}{16}[/math]:[br][br][math]16\left(x^2 + \frac{5}{4}x + \frac{25}{16}\right) - 16 \cdot \frac{25}{16}\[/math][br][br]Tudo isto vai simplificar para[br][br][math]16\left(x + \frac{5}{4}\right)^2 - 25\[/math][br][br]Verifique que esta expressão é igual ao resultado do exemplo anterior: [math](4x + 5)^2 - 25[/math][br][br][br]
Use qualquer uma das duas estratégias para completar os quadrados abaixo.[br][br]Lembre-se de que[br][br][math](a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2[/math][br][br]e de que[br][br][math](a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2[/math] (com subtração em vez de adição).[br][br]
Atividade sobre Círculos - G.A.
Considere as retas:
[math]l: \begin{cases}x=1+t\\ y=3t\end{cases}, \quad m:2x+y-2=0[/math]
Ache as equações dos círculos [math]\Gamma_1[/math] e [math]\Gamma_2[/math] de raio 3, com centro [math]C[/math] sobre a reta [math]l[/math] e cujos[br]pontos de interseção [math]P[/math] e [math]Q[/math] com a reta [math]m[/math] distam 4 um do outro.
Roteiro:
Passo 1: Faça um esboço com apenas um dos círculos, as retas [math]l[/math] e [math]m[/math], o centro [math]C[/math], os pontos de interseção [math]P[/math] e [math]Q[/math]. [br][br]Passo 2: Trace o raio do círculo que é perpendicular à reta [math]m[/math]. Chame de [math]L[/math] o ponto de interseção entre este raio e [math]m[/math].[br][br]Passo 3: [math]CLP[/math] é um triângulo retângulo. Calcule o comprimento de [math]\overline{CL}[/math]. Lembrando que o centro [math]C[/math] pertence à reta [math]l[/math], escreva as coordenadas [math](x, y)[/math] de [math]C[/math] em função do parâmetro [math]t[/math].[br][br]Passo 4: Descubra os valores de [math]t[/math] para os quais a distância entre [math]C[/math] e a reta [math]m[/math] seja igual ao comprimento de [math]\overline{CL}[/math].[br][br]Passo 5: Escreva as equações dos círculos.[br][br]
Passo 1
[br]Desenhe as retas no Applet abaixo. Use o campo de entrada para escrever as equações das retas e depois clique em "Conferir". [br][br][b]Atenção digite as retas no seguinte formado => m: ay+bx+c=0 e l: ay+bx+c=0 [O applet buga se renomear a reta depois de criada.][/b][br][br]Caso as retas estejam corretas, use a ferramenta de ponto e marque um ponto [math]C[/math] sobre a reta [math]l[/math] e com a ferramenta Circunferência (Centro,Raio) desenhe um círculo de raio 3 que intercepte a reta [math]m[/math] em dois pontos distintos. Esses pontos serão [math]P[/math] e [math]Q[/math]. Você pode mover o ponto [math]C[/math] sob a reta [math]l[/math] o quanto quiser.
Passo 2:
[br]O raio foi desenhado, assim como os pontos [math]P[/math],[math]Q[/math] e [math]L[/math]. Mova o centro do círculo, ponto [math]C[/math], livremente e veja como os pontos [math]P[/math] e [math]Q[/math] se relacionam.
Passo 3
[br]O desenho abaixo ilustra os triângulos possíveis formados.
Quais as coordenadas de C em função de t?
O lado [math]\overline{CL}[/math] pode ser encontrado com a fórmula [math]d(P,r) = \frac{|\alpha x_p+ \beta y_p + \gamma|}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} [/math] , onde [math]P=(x_p, y_p) [/math] e [math]r:\alpha x+ \beta y + \gamma [/math]. Substituindo as coordenadas de [math]C[/math] e a reta [math]m[/math] qual a distância entre os pontos [math]C[/math] e [math]L[/math]? [br]
Passo 4:
[br]O triângulo [math]\text{CLP }[/math] é um triângulo retângulo, portanto podemos usar a fórmula de Pitágoras [math] \overline{CP}^2=\overline{LP}^2+\overline{CL}^2[/math]. Sabemos que a distância de [math]\overline{PQ}[/math] é igual a 4 unidades, portanto [math]\overline{PL}[/math] é igual à metade disso. [br][br]Substituindo os valores na fórmula:[br][br][math] 3^2 = 2^2 + \left(\frac{|2(1+t)+1(3t)-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}\right)^2[/math]
Quais o valores de t que fazem a equação acima verdade?
t=
Quais as possíveis coordenadas de C?
Passo 5:
[br]Agora que já sabemos os centros e o valor do raio do círculo, é com vocês. [br][br]Quais as equações de [math]\Gamma_1[/math] e [math]\Gamma_2[/math]?
Confira abaixo!
Questões (muitas) sobre cônicas
Enunciados (ver questão 2)
No [i]app[/i] abaixo, use o controle deslizante para escolher uma cônica.