Para todo número real positivo [math]a\ne1[/math], a função exponencial [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}_+^{\ast}[/math] dada por [math]f\left(x\right)=a^x[/math] é uma correspondência biunívoca entre [math]\mathbb{R}[/math] e [math]\mathbb{R}_+^{\ast}[/math]. Ela é crescente se [math]a>1[/math], decrescente se [i]0 e tem a seguinte propriedade:[br][br][/i][math]f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)[/math], ou seja, [math]a^{x_1+x_2}=a^{x_1}.a^{x_2}[/math][i].[br][/i][br][color=#ff0000][b]Para Refletir:[/b] [/color]Dizer que f(x) é uma correspondência biunívoca é o mesmo que dizer que [b]f[/b] é uma função bijetiva.[br][br] Essas considerações garantem que [b]f[/b] possui uma função inversa.

A inversa da função exponencial de base [b]a[/b] é a função [math]log_a:\mathbb{R}_+^{\ast}\longrightarrow\mathbb{R}[/math], que associa a cada número real positivo [b]x[/b] na base [b]a[/b], com [b]a[/b] real positivo e [math]a\ne1[/math].[br] Observe que [math]f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}_+^{\ast}[/math], dada por [math]f\left(x\right)=a^x[/math], tem a propriedade [math]f\left(x_1+x_2\right)=f\left(x_1\right).f\left(x_2\right)[/math], ou seja, [math]a^{x_1+x_2}=a^{x_1}.a^{x_2}[/math]. A sua inversa [math]g:\mathbb{R}^{\ast}_+\longrightarrow\mathbb{R}[/math], dada por [math]g\left(x\right)=log_ax[/math], tem a propriedade [math]log_a\left(x_1.x_2\right)=log_ax_1+log_ax_2[/math].[br][br] Seu domínio natural é o conjunto dos números reais positivos e sua imagem é o conjunto de todos números reais.[br][br] Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:[br][math]a^{log_ax}=x[/math] e [math]log_a\left(a^x\right)=x[/math], para todo [math]x\in\mathbb{R}[/math]. Assim, [math]log_ax[/math] é o expoente ao qual se deve elevar a base [b]a[/b] para obter o número [b]x[/b], ou seja, [math]y=log_ax\Longleftrightarrow a^y=x[/math].[br] As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base [b]a[/b] é maior do que 1; particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base [b]e[/b] (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de [math]\mathbb{R}_+^{\ast}[/math] em [math]\mathbb{R}[/math] definidas por:[br][list][*][math]f\left(x\right)=log_2x[/math][br][/*][*][math]g\left(x\right)=log_{10}x=logx[/math][br][/*][*][math]h\left(x\right)=log_ex=\ell nx[/math][br][/*][*][math]i\left(x\right)=log_{\frac{1}{4}}x[/math][br][/*][/list]