חומרי עזר להוראת חשבון אינטגרלי בתיכון

Igal.Sapir, Feb 6, 2016

הספר הזה עדיין בבניה. הוא מכיל עזרים שיצרתי ואני משתמש בהם להוראת החשבון האינטגרלי בתיכון. הוא מתחיל משלב ההוכחה של המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי, כלומר שהאינטגרל המסוים של פונקציה חיובית שווה לשטח הכלוא בינה לבין ציר האיקס, ועד לנפח גוף סיבוב.

Table of Contents

  1. הפעולה ההפוכה לפעולת הגזירה
    1. הגדרת האינטגרל הלא מסוים
    2. הגדרת האינטגרל המסוים
  2. המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי
    1. המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי
    2. המחשה של תהליך האינטגרציה כסכום שטחים של פרוסות שטח
  3. השטח הנעלם
    1. סוד השטח הנעלם
  4. חיבור וחיסור שטחים
    1. חישובי שטחים שונים כאשר יש פונקציה אחת
    2. חישובי שטחים כאשר יש שתי פונקציות
  5. שטח כלוא בין שתי פונקציות
    1. שטח הכלוא בין שתי פונקציות
    2. גרסה ש מצאתי ב-GeogebraTube שעושה דברים דומים
  6. נפח גוף סיבוב
    1. נפח גוף סיבוב של פונקציה אחת
    2. נפח גוף סיבוב של f(x)=C
    3. נפח גוף סיבוב של פונקציה לינארית עם שיפוע
    4. נפח גוף סיבוב של שטח בין שתי פונקציות עם תחום אינטגרציה חופף
    5. נפח גוף סיבוב של שטח בין שתי פונקציות עם תחום אינטגרציה לא חופף

1.

הפעולה ההפוכה לפעולת הגזירה

  • 1. הגדרת האינטגרל הלא מסוים
  • 2. הגדרת האינטגרל המסוים

1.1.

הגדרת האינטגרל הלא מסוים

פעולות ופעולות הפוכות
מתחילת לימודי המתמטיקה אנחנו מגדירים את כול הפעולות בזוגות: פעולה והפעולה ההפוכה:[br]חיבור/חיסור, כפל/חילוק, חזקה/שורש...[br][br]מעניינת גם התכונה, שלהוציא פעולות אלגבריות אסורות (חילוק ב-0 או הוצאת שורש ממשי ממספר שלילי) הפעולה ההפוכה של הפעולה ההפוכה היא הפעולה המקורית, כלומר לחיסור זה חיבור, לחילוק זה כפל וכו.[br][br]לפעולת הנגזרת עדיין לא הגדרנו פעולה הפוכה.[br]זו הגדרת פעולת האינטגרל הלא מסוים - הפונקציה הקדומה שעל ידי גזירה קיבלנו את הפונקציה הנתונה.[br][br]מההגדרה מקבלים שהנגזרת של אינטגרל לא מסוים היא הפונקציה המקורית.  אותו הדבר עם הסתייגות בעיקרון נכון גם לגבי אינטגרל של נגזרת עם הסתייגות לגבי קבוע האינטגרציה אותו אני מסביר בפרק הבא.
משפחה של פונקציות
בגלל שבגזירה המקדם החופשי תמיד נעלם, בפעולה ההפוכה מקבלים משפחה של פונקציות הנבדלות בינן לבין עצמן רק בקבוע שעושה הזזה אנכית - קבוע האינטגרציה.[br][br]כדי לקבל את הפונקציה המדויקת חייבים לקבל מידע נוסף שיכול להינתן במספר אופנים, למשל, על ידי נקודה על הפונקציה המקורית.  זה יקבע את קבוע האינטגרציה ואת הפונקציה המדויקת אותה גזרנו
– Igal.Sapir

1.2.

–

2.

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

  • 1. המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי
  • 2. המחשה של תהליך האינטגרציה כסכום שטחים של פרוסות שטח

2.1.

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

בפונקציה חיובית האינטגרל המסוים שווה לשטח בין הפונקציה לציר האיקס. ההוכחה מופיעה בהדרגה כשמזיזים את Algebra
הערה קטנה לגבי ההוכחה
ההוכחה מתאימה לפונקציה עולה כאשר מתקרבים לקצה הימני.[br]ניתן להתאים בקלות לפונקציה יורדת בסביבה זו על ידי היפוך סימני אי השוויון.  [br]שאר ההוכחה יישאר זהה.[br]ניתן להניח שזה אחד המקרים הללו כי בגלל תהליך הגבול מתקרבים כל כך קרוב לקצה הימני שהפונקציה היא או עולה או יורדת בסביבה זו.
– Igal.Sapir

2.2.

–

3.

השטח הנעלם

  • 1. סוד השטח הנעלם

3.1.

סוד השטח הנעלם

משימה עם תוצאה מפתיעה
מבקשים מהתלמידים לחשב את השטח של[math]f\left(x\right)=x^3[/math] לציר האיקס[br] בין [math]x=-1[/math] לבין .[math]x=1[/math] [br]להפתעתם התלמידים מקבלים 0 כאשר ברור שהשטח אינו 0.[br]בחקירת העניין עולים על כך שכאשר השטח הוא מתחת לציר האיקס התוצאה יוצאת שלילית.[br]משדרגים את האלגוריתם לחישוב שטח של פונקציה שיש לה גם חלקים חיוביים וגם שליליים
משתמשים שוב ב-מגה-לייזר-סליסר. משנים את הפונקציה ואת גבולות האינטגרציה
– Igal.Sapir

4.

חיבור וחיסור שטחים

  • 1. חישובי שטחים שונים כאשר יש פונקציה אחת
  • 2. חישובי שטחים כאשר יש שתי פונקציות

4.1.

חישובי שטחים שונים כאשר יש פונקציה אחת

– Igal.Sapir

4.2.

–

5.

שטח כלוא בין שתי פונקציות

  • 1. שטח הכלוא בין שתי פונקציות
  • 2. גרסה ש מצאתי ב-GeogebraTube שעושה דברים דומים

5.1.

שטח הכלוא בין שתי פונקציות

ההסבר והתפעול המללוים את היישומון
בשלב זה התלמידים כבר יודעים לעשות חיבור וחיסור שטחים כדי לחש שטח הכלוא בין שתי פונקציות.[br]הם עדיין מתייחסים לחיתוכים של ציר האיקס כחלק קריטי מהחישוב[br]הבעיה שניתן להדגים ביישומון זה שאם מזיזים את הפונקציות למטה על ידי ShiftV  נוצרים הרבה חיתוכי ציר איקס והחישוב דורש עבודה רבה.[br]לעומת זאת, כאשר מפעילים את הסופר-סלייסר, רואים שבכל איקס הפרש הגובה בתוך השטח הוא הפער בין הנקודה הכחולה והאדומה שהוא הפרש הפונקציות.[br]מגדילים את N למספר באזור 15 ומזיזים את הסלייסר על ציר האיקס.[br]הפרוסות הנחתכות נוחתות על ציר האיקס והופכות לפונקציה חדשה שהיא ההפרש בין הפונקציות המקוריות.[br]השטח נשאר זהה לשטח המקורי.[br]בגלל שהפונקציה החדשה היא חיובית ומונחת על ציר האיקס החישוב ניתן לביצוע על ידי אינטגרל אחד.[br]כאשר הסלייסר מסיים את כל השטח ומגדילים את N להיות גדול מקבלים את השטח המדויק[br][br]שם החיבה של היישומון הזה הוא סופר-מגה-לייזר-סלייסר
יישומון המדגים חישוב שטח כחישוב אינטגרל ההפרש בין שתי שתי פונקציות
– Igal.Sapir

5.2.

–

6.

נפח גוף סיבוב

  • 1. נפח גוף סיבוב של פונקציה אחת
  • 2. נפח גוף סיבוב של f(x)=C
  • 3. נפח גוף סיבוב של פונקציה לינארית עם שיפוע
  • 4. נפח גוף סיבוב של שטח בין שתי פונקציות עם תחום אינטגרציה חופף
  • 5. נפח גוף סיבוב של שטח בין שתי פונקציות עם תחום אינטגרציה לא חופף

6.1.

נפח גוף סיבוב של פונקציה אחת

תפעול היישומון
א. בחירה ב-AreaSlices - מציג את פרוסות השטח -     משחק עם N מקטין את dx ומגדיל דיוקב. מציגים את התצוגה ה-3D ועושים הדגמה של סיבוב הפונקציה בעזרת Rotatef ג. כאשר עושים Trace ביחד עם Rotatef מקבלים את הגוף הנוצר    זה עובדיפה במיוחד כאשר עושים Animate ל-Rotatefד. כאשר בוחרים VolumeAll גם רואים את הגוף הנוצר  ה. כאשר בוחרים ShowDxSlice רואים דיסקית (גליל) נפח בעובי (גובה) dx     משחק עם N מקטין את dx ומגדיל דיוק    משחקעם Ndx מזיז את הדסקית על הגוף ומדגים את פעולתהאינטגרציה    בחירה של TraceDxSlice יותר את הגוף בעזרת הדיסקיות[br][br]שם החיבה של היישומון הוא סופר-דופר-מגה-לייזר-סלייסר
– Igal.Sapir

6.2.

–

6.3.

–

6.4.

–

6.5.

–

Information