Recordad que un sistema de ecuaciones lineales (SEL) puede representarse de forma matricial como A·X = b, donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna de incógnitas y b es la matriz columna de términos independientes. Recordad que el SEL es [br][list][*][b]compatible determinado:[/b] si tiene solución y es única. [/*][*][b]compatible indeterminado:[/b] si tiene solución no única. En este caso, existen infinitas soluciones.[/*][*][b]incompatible:[/b] si no tiene solución.[/*][/list]El [b]teorema de Rouché-Frobenius[/b] establece la relación entre el rango de la matriz ampliada (A|b) del sistema A·x = b y el tipo de sistema. 

"Sea el sistema A·X=b  con [i]m[/i] ecuaciones lineales y con [i]n[/i] incógnitas, donde [i]m[/i] y [i]n[/i] son naturales mayores que 0. Entonces,[br][list][*]El sistema [i]A·X = b[/i] es [b]compatible[/b] si, y sólo si, [i]rango(A) = rango(A|b)[/i][br][/*][*]El sistema [i]A·X = b[/i] es [b]compatible determinado[/b] si, y sólo si, [i]rango(A) = rango(A|b)= n"[/i][br][/*][/list]

[url=https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1.png[/img][/url][br][br]La matriz ampliada del sistema es[br][br][url=https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-1.png[/img][/url][br][br]El rango de la matriz es[br][br][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-2.png[/img][br][br]ya que tiene un determinante de dimensión 3 no nulo:[br][br][url=https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-3.png[/img][/url][br][br]Además, como el determinante anterior también es el determinante de la matriz [i]A[/i], la matriz de coeficientes también tiene rango 3:[br][br][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-4.png[/img][br][br]Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices coinciden[br][br][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-5.png[/img][br][br]y, por el [b]teorema de Rouché-Frobenius[/b], como el rango es igual al número de incógnitas, el sistema es [b]compatible determinado[/b].[br][br]En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,[br][br][url=https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-6.png[/img][/url][br][br]Es decir,[br][br][url=https://www.problemasyecuaciones.com/matrices/teorema-Rouche-Frobenius-enunciado-ejemplos-aplicacion-sistemas-ecuaciones-lineales-matrices.html][img]https://www.matesfacil.com/rouche/Rouche1-7.png[/img][/url][br][br]Nota: la solución se ha calculado por la [url=https://www.matesfacil.com/BAC/ejercicios-resueltos-CRAMER.html]regla de Cramer[/url].

Más ejemplos: [url=https://www.matesfacil.com/Rouche-Frobenius.htm]Teorema de Rouché-Frobenius[/url][br]Otros temas relacionados: [br][list][*][url=https://www.matesfacil.com/BAC/ejercicios-resueltos-CRAMER.html]Regla de Cramer[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.html]Eliminación de Gauss[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinantes.html]Determinantes de matrices[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-determinante-parametro.html]Matrices con parámetros[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-inversa-adjunta.html]Cálculo de la matriz inversa[/url][/*][*][url=https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-demostraciones.html]Problemas teóricos de matrices[/url][/*][/list]