Come già sappiamo, esistono dei punti in cui la funzione non può essere valutata: quelli che non appartengono al suo dominio. Un'informazione molto utile per poter tracciare una buona stima del grafico della funzione si ottiene indagando come si comporta la funzione [i]vicino[/i] ai confini del dominio, cioè quando si avvicina ai punti in cui non esiste. [br][br]Ad esempio sappiamo che la funzione [math]y=\sqrt{3-x}[/math] esiste solo per [math]x\le 3[/math], di conseguenza potremo calcolare la funzione solo fino a 3. Lo strumento del [b]limite di funzione[/b] ci permette di capire che andamento ha la funzione man mano che si avvicina alla zona "vietata" in cui non può essere valutata.[br][br]Nella prima animazione vediamo un esempio delle informazioni che si possono ottenere da questo tipo di indagine, senza entrare per il momento nel merito del [i]come[/i] si calcolano, per capire innanzitutto l'obiettivo e l'utilità di questo strumento.

[size=150][color=#ff0000]LIMITE COME STIMA PER APPROSSIMAZIONI SUCCESSIVE[br][/color][/size]Il modo più intuitivo per capire il concetto di limite è forse il seguente. Le funzioni hanno in genere dei valori che non rispettano le C.E. delle proprie espressioni, e per i quali quindi non è possibile ottenere dei risultati: questi valori non fanno parte del dominio della funzione. Il limite si chiede allora come si comporta la funzione per valori "vicini" a questi valori vietati, ovvero che andamento ha la funzione mano a mano che si avvicina al "bordo" del suo dominio. [br][br]In realtà si può calcolare il limite "vicino" a qualsiasi valore della [math]\large{x}[/math], anche uno che appartiene al dominio, ma effettivamente i valori "vietati" sono quelli per cui il risultato del limite è più interessante. Questo ci aiuta a ricordare che [color=#ff0000]il limite si occupa del comportamento VICINO al valore [math]\large{x}[/math] considerato (cioè simile ad esso), ma NON del risultato generato dalla funzione nel valore stesso, di cui il limite non sa niente e non si occupa[/color].[br][br]Un primo modo intuitivo per vedere i primi limiti è pensare di darne una stima per approssimazioni successive. Ad esempio sappiamo che la funzione [math]\large{\frac{1}{x}}[/math] non esiste quando [math]\large{x=0}[/math], ma [b][color=#ff0000]possiamo vedere come si comporta [i]vicino[/i] a questo valore calcolandone il risultato per valori sempre più simili ad esso, ad esempio per [/color][/b][math]\large{x=-0,10}[/math][b][color=#ff0000], poi per [/color][/b][math]\large{x=-0,09}[/math][b][color=#ff0000], poi [/color][/b][math]\large{x=-0,08}[/math][b][color=#ff0000] così via, osservando come cambia di conseguenza il risultato della funzione. Mettendo questi risultati su un grafico, abbiamo una rappresentazione visuale immediata del comportamento della funzione[/color][/b]. [br][br]Facciamo una prova. Invece di fare tutti i calcoli a mano, però, facciamoci aiutare da Geogebra in modo da far lavorare lui al posto nostro. [br][br][color=#ff0000][b]ATTENZIONE:[/b] se vuoi utilizzare in modo agevole lo strumento proposto in questo percorso, è [u]necessario[/u] farlo tramite [u]un PC[/u][br][/color][br]Innazitutto guarda questo video che ti spiega come generare una tabella di valori ed ottenerne il grafico su Geogebra (uhm, it is in English, but this is [i]not[/i] a problem for you, is it?)

Tutto chiaro? Allora è giunto il nostro momento! Useremo la applet qui sotto per fare i nostri primi esperimenti, ma una volta che hai capito puoi tenerti il tuo ambiente a portata di mano sul PC/tablet/smartphone![br][br][size=150][color=#ff0000]IL NOSTRO PRIMO STUDIO DI LIMITE[/color][/size][br][b][color=#0000ff]Vogliamo studiare come si comporta la funzione [/color][math]\large{y=\frac{x}{x-x^2}}[/math][color=#0000ff] [i]vicino[/i] ai suoi valori vietati.[/color][/b][br][br]Svolgendo le C.E. troverai facilmente che esse danno [math]\large{x \neq 0 \land x \neq 1}[/math]; per iniziare consideriamo il valore [math]\large{x=0}[/math]. Partiremo da [math]\large{x=-0.10}[/math] e ci avvicineremo di un centesimo alla volta ([math]\large{x=-0.09}[/math], [math]\large{x=-0.08}[/math]...) continueremo fino a [math]\large{0}[/math] (vedremo cosa succede) e proseguiremo, sempre aggiungendo [math]\large{0,01}[/math], fino a [math]\large{x=0,10}[/math]. In questo modo vedremo il comportamento allo [math]\large{0}[/math] da entrambi i lati. [br][br]Scriviamo nella prima cella dei valori [math]\large{x}[/math], la [b][color=#0000ff]A2[/color][/b] il primo valore che vogliamo considerare digitando [b][color=#0000ff]-0,10[/color][/b].Prima do proseguire è importante ricordare altri due trucchi essenziali dei fogli di calcolo per far lavorare il programma al posto nostro. [br][color=#ff0000][b][br]1) INSERIRE LE FORMULE:[/b][/color] [color=#ff0000]spiega al foglio di calcolo come è fatta la formula che permette di ottenere il risultato[/color]. Dato che l'espressione della nostra funzione è [math]\large{\frac{x}{x-x^2}}[/math], nella prima cella utile della colonna delle [math]\large{y}[/math], la cella [b][color=#ff7700]B2[/color][/b], dobbiamo scrivere questa espressione,[br] [br][list][*]mettendo ogni volta [b][color=#ff7700]A2[/color][/b] al posto della [math]\large{x}[/math] (è in quella cella che si trova!),[/*][*]ricordando che il simbolo di potenza è [b][color=#ff7700]^[/color][/b] [/*][*]facendo attenzione alle parentesi. [/*][/list][br]L'espressione corretta è quindi [b][color=#ff7700]=A2/(A2-A2^2)[br][br][/color][/b][b][color=#ff0000]2) TRASCINARE LE CELLE:[/color][/b] [color=#ff0000]spiega a al foglio di calcolo che la regola per ottenere i risultati è sempre la stessa[/color]. Le [math]\large{x}[/math] dovranno aumentare di [math]\large{0,01}[/math] alla volta; per spiegarlo al foglio di calcolo facciamogli vedere un esempio scrivendo nella cella successiva delle [math]\large{x}[/math], la [b][color=#0000ff]A3[/color][/b], il valore successivo che si ottiene secondo questa logica, cioè [color=#0000ff][b]-0,09[/b][/color]. A questo punto selezioniamo le due celle con i valori (clicca nel [b]centro [/b]di una delle due celle e trascina finché non hai selezionato entrambe) afferriamo la [i][b]maniglia [/b][/i]cliccando sul quadratino in basso a destra e trasciniamo in basso per un numero sufficiente di celle.

Non è finita qui. Dopo aver inserito nella prima cella dei punti, la [b][color=#38761d]C2[/color][/b], le istruzioni su come costruire il primo punto, selezioniamo le celle [b][color=#ff7700]B2[/color][/b] e [b][color=#38761d]C2[/color][/b] e trasciniamole verso il basso: dentro ognuna di esse ci sono le istruzioni per compilarle, e trascinandole verso il basso tali istruzioni verranno adattate per costruire tutti gli altri elementi della tabella.

[color=#ff0000][size=150]ANALIZZIAMO L'ANDAMENTO CHE SI VEDE NELLA TABELLA E SUL GRAFICO[br][/size][/color]Partendo da [math]\large{x=-0,10}[/math] ed aumentando otteniamo risultati sempre più vicini a 1. Puoi vederlo cliccando sulla cella [b][color=#ff7700]C2[/color][/b]: il corrispondente punto sul grafico verrà evidenziato, e se scendi lungo la tabella passando alla cella [color=#ff7700][b]C3[/b][/color] e così via vedrai sul grafico il comportamento corrispondente. [br][br]Questo risultato si riassume dicendo che [color=#0000ff]tanto più le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] assumono valori [i]vicini[/i] a [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math][/color], [color=#ff0000]quanto più le [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] danno risultati [i]vicini[/i] a [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color]. Questo "assumere valori [i]vicini[/i]" e "dare risultati [i]vicini[/i]" si esprime con il termine matematico [i]tendere[/i] ([i]approaching[/i], in Inglese). Quindi diremo che [color=#0000ff]quando [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{0}}[/math], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende ad [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color].[br][br]Il simbolo del "tendere" è una freccia, quindi possiamo simbolicamente dire che quando [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 0}}[/math] abbiamo che [math]\large{\textcolor{red}{y \to 1}}[/math]. Tutto questo si combina ed unisce nel concetto di [b]limite[/b], per cui diremo che [color=#ff0000]il limite di [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math][/color] [color=#0000ff]quando[/color] [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 0}}[/math] [color=#ff0000]vale [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color]. In simboli si usa la scrittura riportata sotto, dove al posto di [math]\large{y}[/math] si mette di solito l'espressione che permette di calcolarla:[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 0}}\ \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{1}}[/math][br][br][b][color=#38761d]E quando [math]\large{x=0}[/math]?!?[/color][/b][br]Avrai forse fatto caso al fatto che la tabella restituisce il valore [math]\large{y=1}[/math] nella riga corrispondente al valore vietato [math]\large{x=0}[/math].[br][br][b]Come?!? Dopo tanti anni a sudare sulle condizioni di esistenza alla fine è tutto falso e non servono a niente?!?[br][/b] [br]Ovviamente no. Geogebra, come tutti i fogli di calcolo, compie talvolta delle approssimazioni, per cui il valore della [math]\large{x}[/math] in quella riga [b]non è [/b] zero, ma qualcosa di estremamente simile (tipo [math]\large{0,000000000000001}[/math] che viene "sintetizzato" con il famigerato numero vietato. Se però vai nella cella corrispondente (che dovrebbe essere la [b][color=#0000ff]A12[/color][/b]) e inserisci a mano [b][color=#0000ff]0[/color][/b], vedrai che tutto torna a posto.[br]

[size=150][color=#ff0000]UN ALTRO ESEMPIO SIGNIFICATIVO[/color][/size][br]Proseguiamo studiando la nostra funzione [math]\large{y=\frac{x}{x-x^2}}[/math] nell'altro suo valore vietato, [math]\large{x=1}[/math][br][br]L'applet qui sotto si concentra sulla zona dell'asse [math]\large{x}[/math] "vicino" al valore di interesse, che è marcato da una linea rossa a sottolineare che la funzione NON potrà assumere questo valore.[br][br]Compila la tabella seguendo il procedimento visto prima e studia i risultati della funzione per [math]\large{x=0,90}[/math], [math]\large{x=0,91}[/math]... fino a [math]\large{x=1,10}[/math]. [br]

Osserviamo anche in questo caso l'andamento che si delinea. [color=#ff0000]La prima cosa che notiamo è che abbiamo due comportamenti diversi per le [math]\large{x}[/math] "prima" di [math]\large{x=1}[/math], cioè quelle più piccole di quel valore, e quelle "dopo" o più grandi[/color]. Vediamo un caso alla volta. [br][br][b][color=#0000ff]Risultati per le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] più piccole di [math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math][/color][/b][br][color=#0000ff]Partendo da [math]\large{x=0,90}[/math] ed aumentando otteniamo risultati sempre grandi[/color]. Possiamo dedurre che considerando valori della [math]\large{x}[/math] ancora più simili a [math]\large{1}[/math], ad esempio [math]\large{0,9999}[/math], otterremo risultati ancora maggiori. Dato che possiamo avvicinarci [i]senza limiti[/i] al valore [math]\large{x=1}[/math] [i]senza[/i] raggiungerlo (ad esempio considerando [math]\large{x = 0,9999999}[/math], poi [math]\large{x= 0,999999999999}[/math] etc.), [b][color=#0000ff]otterremo risultati [i]illimitatamente[/i] grandi. Il risultato a cui tendono le [math]\large{y}[/math] non è quindi un numero, ma [i]una quantità indefinita ed illimitatamente grande[/i][/color][/b]. Una quantità di questo tipo viene rappresentata in matematica dal simbolo di infinito, cioè [math]\large{\infty}[/math]. In particolare in questo caso il risultato si avvicinerà a [math]\large{+\infty}[/math]. [br][br]Abbiamo quindi che [color=#0000ff]quando la [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math][/color], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{red}{+\infty}}[/math][/color].[br][br][b][color=#0000ff]ATTENZIONE! In questo caso il comportamento riguarda solo l'avvicinamento [math]\large{\textcolor{blue}{x \to 1}}[/math] quando le [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] si avvicinano attraverso valori MINORI di [/color][/b][math]\large{\textcolor{blue}{1}}[/math]: osservando il grafico puoi intuire che quando ci avviciniamo considerando valori MAGGIORI la [math]\large{y}[/math] tenderà a [math]\large{- \infty}[/math]. [b]Bisogna quindi distinguere i due casi, e lo si fa definendo i concetti di limite destro e limite sinistro.[/b][br][br]In questo momento ci stiamo avvicinando a [math]\large{x=1}[/math] considerando numeri [b][color=#0000ff]più piccoli[/color][/b], stiamo considerando quindi punti che sul piano sono [color=#0000ff][b]alla [i]sinistra[/i][/b][/color] del valore in esame. Si parla quindi di [color=#0000ff][b]limite sinistro[/b][/color], e l'avvicinamento di questo tipo è rappresentato dalla scrittura [math]\large{x \to 1^{-}}[/math], dove il segno [math]\large{-}[/math] "ad esponente" indica appunto che stiamo considerando valori [b][color=#0000ff]MINORI[/color][/b] di [math]\large{1}[/math]. Il risultato che abbiamo ottenuto si sintetizza quindi nella scrittura[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^-}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{+ \infty}}[/math][br][br][b][color=#ff0000]Risultati per le [math]\large{\textcolor{red}{x}}[/math] più grandi di [math]\large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color][/b][br]Osservando la tabella ed grafico, possiamo ragionare per analogia a quanto appena detto e definire il limite sinistro, cioè per [math]\large{x \to 1^{+}}[/math], della funzione, osservando che [color=#0000ff]quando la [math]\large{\textcolor{blue}{x}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{blue}{1+}}[/math][/color], [color=#ff0000]la corrispondente [math]\large{\textcolor{red}{y}}[/math] tende a [math]\large{\textcolor{red}{-\infty}}[/math][/color].[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{- \infty}}[/math][br][br][size=150][color=#ff0000]DUE NOTE PER CONCLUDERE[br][/color][/size]Abbiamo visto in quest'ultimo esempio che [b]la nostra funzione quando [math]\large{x \to 1}[/math] ha due comportamenti diversi a seconda che la [math]\large{x}[/math] si avvicini da destra o da sinistra. La funzione quindi non ha un comportamento unico vicino a [math]\large{1}[/math], non tende ad un unico valore[/b]. Per questo motivo diciamo che in questo caso [b][color=#ff0000]esistono il limite destro ed il limite sinistro, ma poiché essi tendono a due valori diversi NON esiste il limite globale della funzione per [math]\large{x \to 1}[/math][/color][/b].[br][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^-}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{+ \infty}}[/math][br][math]\Large{\textcolor{blue}{\lim_{x \to 1^+}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} = \textcolor{red}{- \infty}}[/math][br][math]\Large{\nexists \textcolor{blue}{\lim_{x \to 1}} \textcolor{red}{\frac{x}{x-x^2}} }[/math][br][br]La seconda annotazione riguarda il fatto che puoi tornare all'ultima applet che abbiamo utilizzato ed inserire l'espressione della funzione [b]y=x/(x-x^2)[/b] nella barra di inserimento in basso, che te ne mostrerà il grafico e confermerà l'andamento che ci ha fatto intuire il limite.