Бид цаашид дараах нэрт томьео, тэмдэглэгээ[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABC[/img]                          гурвалжны оройнууд[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;a,b,c[/img]                          [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BC,CA,AB[/img] талын урт[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\alpha&space;,\beta&space;,\gamma[/img]                        [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BC,CA,AB[/img] талын эсрэг орших өнцгийн хэмжээ[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;h_{a},h_{b},h_{c}[/img]                     [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BC,CA,AB[/img] талд буулгасан өндрийн урт[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;m_{a},m_{b},m_{c}[/img]                 [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BC,CA,AB[/img] талд буулгасан медианы урт[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;l_{a},l_{b},l_{c}[/img]                        [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;BC,CA,AB[/img] талд буулгасан биссектрисийн урт[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;O[/img]                                 [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABC[/img]  гурвалжныг багтаасан тойргийн төв[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?R[/img]                                [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABC[/img]  гурвалжныг багтаасан тойргийн төв[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?I[/img]                                 [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;ABC[/img]  гурвалжныг багтаасан тойргийн төв

[b] 1. Медиан [br][br]Тодорхойлолт 1. [/b]Гурвалжны оройг эсрэг орших талын дундаж цэгтэй холбосон хэрчмийг уул оройн [i]медиан [/i]гэнэ.[br][img width=300,height=196]http://data.sur.mn/0b37d4a8-1e67-42f8-a0cb-29f67b2d1cf1.png[/img][br][b]Чанар:[/b][list=1][*]Гурвалжны гурван медиан нэг цэгт огтололцох ба энэ цэгээр медиан бүхэн оройгоос тооцоход 2:1 харьцаагаар хуваагдана.  Медиануудын огтололцсон цэгийг гурвалжны хүндийн төв гэнэ.[/*][*]Медианууд гурвалжныг тэнцүү талбайтай 6 хэсэгт хуваана.[/*][*] [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{80}&space;ABC[/img] гурвалжны хувьд [img width=124,height=16]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/img] тэнцлийг хангах  цэг цор ганц байна.[/*][*][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+c^{2})[/img][/*][*][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}=\frac{4}{9}(m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2})[/img][b][/b][/*][*][b]Гурвалжны медианы томьëо:[/b]  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}[/img],  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;m_{b}^{2}=\frac{2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}[/img], [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;m_{c}^{2}=\frac{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}[/img] байна.[/*][/list][b]Баталгаа-1:/Косинусын теорем ашиглах/[/b] [br] [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;b^{2}=\frac{a^{2}}{4}+m_{a}^{2}-2\cdot&space;\frac{a}{2}\cdot&space;m_{a}\cdot&space;\cos&space;\alpha,[/img]  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;c^{2}=\frac{a^{2}}{4}+m_{a}^{2}-2\cdot&space;\frac{a}{2}\cdot&space;m_{a}\cdot&space;\cos&space;(180^{0}-\alpha)[/img] гэдгээс[br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;b^{2}+c^{2}=\frac{a^{2}}{4}+2m_{a}^{2}\Rightarrow&space;m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}[/img]  байна. бусад томьеонуудыг үүний адилаар батлаж болно. [br][b]Баталгаа-2: /Параллелограммын чанар ашиглах/[br][/b][img width=350,height=164]http://data.sur.mn/ac627353-5b53-40d0-a998-f7b225e700ae.png[/img][br][br][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;b^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{2}+4m_{a}^{2}\Rightarrow&space;m_{a}^{2}=\frac{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}[/img][br][b]                                                                        2. Өндөр[/b][br][b]Тодорхойлолт:[/b] Гурвалжны оройгоос эсрэг талыг агуулсан шулуунд буулгасан перпендикулярыг өндөр гэнэ. [br]1. Хурц өнцөгт гурвалжны хувьд [br][img width=300,height=235]http://data.sur.mn/552d75b5-60f1-41d6-9493-b9b0c1a7c94e.png[/img][br]2. Мохоо өнцөгт гурвалжны хувьд [br][img width=300,height=222]http://data.sur.mn/333d7ff9-bc69-476c-868f-174e8782d671.png[/img][br]Чанар: [br][list=1][*]Гурвалжны гурван өндөр нэг цэгт огтлолцоно. Өндрүүдийн огтлолцлын цэгийн ортоцентр гэнэ.[/*][*]Гурвалжны өндрүүдийг гурван талаар нь бодох томъео [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;h_{a}=\sqrt{b^{2}-(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a})^2},h_{b}=\sqrt{c^{2}-(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b})^2},h_{c}=\sqrt{a^{2}-(\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2c})^2}[/img][url=http://www.math-bu.sur.mn/view.aspx?mate=36531e94-728d-4046-92c8-daef3b8d19f0]Баталгаа:[/url][/*][/list][b]Тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр, түүний чанарууд[/b][br][img width=400,height=200]http://data.sur.mn/3228fb9a-92d1-4f70-b6f5-cc40f859d10c.png[/img][br][br][list=1][*][b][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}=a_{c}\cdot&space;c[/img][/b][/*][*][b][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?b^{2}=b_{c}\cdot&space;c[/img][/b][/*][*][b][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?h_{c}^{2}=a_{c}\cdot&space;b_{c}[/img][/b][/*][*][b][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?S_{ABC}=\frac{1}{2}a\cdot&space;b[/img][/b][/*][*][b][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?c^{2}=a^{2}+b^{2}[/img] (Пифагорын теорем) [br][/b][/*][/list][b][url=http://www.math-bu.sur.mn/view.aspx?mate=cf28f94e-2d92-4fba-9e20-209a9a2d05d3]Гурвалжны өндрийн бусад чанарууд[/url][/b][br][br][b]3. Биссектрисс, түүний чанарууд[/b][br][b]Тодорхойлолт:[/b] Өнцгийн оройг дайрсан уг өнцгөө хоëр тэнцүү хуваадаг шулууныг өнцгийн биссектрис гэнэ. [br][b]Тодорхойлолт:[/b] Гурвалжны өнцгийн биссектрисээс эсрэг орших талаар таслагдсан хэрчмийг гурвалжны биссектрисс гэнэ. [br][img width=300,height=184]http://data.sur.mn/ddb93816-819f-4f98-b8c7-dce2ea64710a.png[/img][br][b]Чанар:[/b][br][list=1][*]Гурвалжны биссектрисүүдийн огтлолцлын цэг нь гурвалжинд багтсан тойргийн төв болно.[/*][*]Гурвалжны биссектрисүүд нэг цэгт огтлолцоно.[/*][*][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC};\frac{BC}{AC}=\frac{BF}{AF};\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}[/img][/*][*][img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{AB}{AC};\frac{S_{ABE}}{S_{BCE}}=\frac{AB}{BC};\frac{S_{ACF}}{S_{BCF}}=\frac{AC}{BC}[/img][/*][*]Биссектрисийг хоëр тал ба хоорондох өнцгөөр олох томъëо  [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;l_{c}=\frac{2ab\cos&space;\frac{\gamma&space;}{2}}{a+b},l_{b}=\frac{2ac\cos&space;\frac{\beta&space;}{2}}{a+c},l_{a}=\frac{2bc\cos&space;\frac{\alpha&space;}{2}}{b+c}[/img]  [url=http://www.math-bu.sur.mn/view.aspx?mate=5424fc65-0c0e-4054-9604-a6ddb41f2335]Баталгаа:[/url][/*][*]Биссектрисийг гурвалжны талаар нь бодох томъëо [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;l_{a}=\sqrt{bc-\frac{a^{2}bc}{(b+c)^{2}}};l_{b}=\sqrt{ac-\frac{ab^{2}c}{(a+c)^{2}}};l_{c}=\sqrt{ab-\frac{abc^{2}}{(a+b)^{2}}}[/img] [url=http://www.math-bu.sur.mn/view.aspx?mate=0e589a50-d94f-4a27-be1d-eeaf4fc8ef50]Баталгаа:[/url][/*][*]ABC гурвалжны гадаад өнцөг CBF-ийн биссектрис BD нь эсрэг тал AC-ийн үргэлжлэлийг ямар нэг D цэгт огтлоход, мөн цэгээс уул талын үзүүрүүд хүртлэх зай нь уг гурвалжны налсан талуудад пропорциональ байна. Өөр-өөр хэлбэл: [img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\dpi{100}&space;\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}[/img] байна.[/*][/list] [img width=300,height=176]http://data.sur.mn/f913e7cb-03e4-491a-8714-0572df32cc13.png[/img][br][b]4. Гурвалжны талбай[/b][br][img width=550,height=496]http://data.sur.mn/bba6df6f-8b15-4b5c-9417-20de8becbf3b.bmp[/img]