[br]Um das zu verstehen, gehe folgendermaßen vor.[br][list][*][b]Verkleinere [/b]den Wert von [b]h[/b], indem du die Stelle [b][color=#0000ff]x[sub]0[/sub]+h[/color] gegen [color=#0000ff]x[sub]0[/sub][/color][/b] verschiebst.[/*][/list][br]Du kannst erkennen, dass die Abweichung [color=#ff0000][b]r[sub]t[/sub](h)[/b][/color] zwischen der Tangente t und der Funktion f an der Stelle x[sub]0[/sub]+h für [math]h\longrightarrow0[/math] gegen 0 geht. Das ist zu erwarten, da die Funktion und die Tangente an der Stelle x[sub]0[/sub] denselben Wert haben.[br][br]Die Tangente im Punkt P hat die Darstellung[br][center][math]t\left(x\right)=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)[/math][/center]und damit folgt rechnerisch für r[sub]t[/sub](h)[br][center][math]\begin{align} f\left(x_0+h\right) &=f\left(x_0\right)+f'\left(x_0\right)\cdot h+r_t\left(h\right) \\[br]r_t\left(h\right) &=f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)-f'\left(x_0\right)\cdot h \\[br]\lim_{h \rightarrow 0}{r_t\left(h\right)} &= f \left(x_0\right) - f \left(x_0\right) - 0 = 0\end{align}[/math][/center]Damit ist gezeigt, dass die [b][color=#ff0000]Abweichung r[sub]t[/sub](h)[/color] gegen 0 [b]geht[/b][/b]. [br][br]Aber nicht nur die Abweichung r[sub]t[/sub](h) geht gegen 0, sondern auch die [b]relative Abweichung [math]\frac{r_t\left(h\right)}{h}[/math][/b] geht für [math]h\longrightarrow0[/math] gegen 0.[br][br][center][math]\lim_{h \rightarrow 0} {\frac{r_t\left(h\right)}{h}} =\lim_{h \rightarrow 0} {\left( \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)} {h} - f'\left(x_0\right) \right)} = f'\left(x_0\right) - f'\left(x_0\right) = 0 [/math][/center]

Wie verhält sich im Vergleich zur Tangente eine beliebige andere Gerade, die ebenfalls durch den Punkt P geht und die Steigung k hat?[br][br][list][*]Blende mit dem Kontrollkästchen die [color=#38761d][b]Gerade g[/b][/color] durch den Punkt P ein.[br][/*][/list][br]Die Gerade g wird angegeben durch[br][center][math]g\left(x\right)=f\left(x_0\right)+k\cdot\left(x-x_0\right)[/math][/center]Somit gilt[center][math]f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+k\cdot h+r_g\left(h\right)[/math][/center]und damit folgt rechnerisch für r[sub]g[/sub](h)[br][center][math]\begin{align} r_g\left(h\right) &= f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right) - k \cdot h \\[br]\lim_{h \rightarrow 0}{r_g\left(h\right)} &= f\left(x_0\right) - f \left(x_0\right) - 0 = 0\end{align}[/math][/center]Auch die [b][color=#38761d]Abweichung r[sub]g[/sub](h)[/color][/b] zwischen der Geraden g und der Funktion f an der Stelle x[sub]0[/sub]+h [b]geht gegen 0[/b].[br]Aber die [color=#38761d][b]relative Abweichung[/b][/color] [math]\frac{r_g\left(h\right)}{h}[/math] geht für eine beliebige Gerade für [math]h\longrightarrow0[/math] [b]nicht gegen 0[/b].[br][center][math]\lim_{h\rightarrow0}\frac{r_g\left(h\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}-k\right)=f'\left(x_0\right)-k\ne0[/math][/center][b]Die Tangente ist die einzige Gerade durch P, bei der auch die relative Abweichung gegen 0 geht.[/b][br]

[list][*]Verkleinere den Wert von h, indem du die Stelle x[sub]0[/sub]+h gegen x[sub]0[/sub] verschiebst.[/*][*]Beobachte, wie sich die Abweichungen und die relativen Abweichungen bei der Veränderung von h verhalten.[/*][/list]