Folytonosság
A folytonosság fogalmát tesszük látványossá különböző függvények alkalmazásával.
Table of Contents
- Függvény folytonossága 1.
- Függvény folytonossága 1.
- Függvény folytonossága 2. (véges ugrás esetén)
- Függvény folytonossága 2. (véges ugrás esetén)
- Függvény folytonossága 3. (lukas egyenes)
- Függvény folytonossága 3. (lukas egyenes)
- Függvény folytonossága 4. (exponenciális függvény)
- Függvény folytonossága 4. (exponenciális függvény)
Függvény folytonossága 1.
[justify]Az eddig tanult függvények ([math]f[/math]) legtöbbjére igaz, hogy minél jobban megközelítjük a függvény értelmezési tartományának egy adott pontját, a függvényértékek annál inkább megközelítik az adott pontbeli függvényértéket. [br]Ezt a tulajdonságot a függvény folytonosságának nevezzük, melyet a következő[br]definícióval írunk le pontosan:[/justify][br][b]Cauchy-féle definíció[/b][br][justify]Az [i][math]f[/math][/i] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha tetszőleges [math]\varepsilon>0[/math]-hoz létezik olyan [math]\delta>0[/math] melyre, ha [math]\mid x-x_0\mid<\delta[/math], akkor [math]\mid f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\mid<\varepsilon[/math] .[/justify][justify][/justify][justify][/justify]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. [br]Adott az [math]f\left(x\right)=x^2,[/math] [math]x\in R[/math] függvény. [br]Vizsgáljuk ennek folytonosságát különböző pontokban az interaktív alkalmazás segítségével!
1. feladat
Figyeld meg a kiindulási állapotot! [br]Az [math]x_0[/math] pont környezetében az [math]f[/math] függvény mely pontjaira teljesül, hogy a függvényértékek [math]f(x_0)[/math]-tól való eltérése legfeljebb 0,05, vagyis [math]|f(x)-f(x_0)|<[/math]0,05 ?
2. feladat
Közelítsünk jobban![br]Változtasd [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszkán![br]Állítsd be az értékét 0,03; 0,01; 0,005-re![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket![br][br]
3. feladat
Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi [math]ε>0[/math]-hoz találunk az olyan [math]δ>0[/math] számot, melyre ha [math]x[/math] az [math]x_0[/math]-nak [math]δ[/math] sugarú környezetében van, akkor [math]f(x)[/math] az [math]f(x_0)[/math]-nak [math]ε[/math] sugarú környezetébe esik?[br]Kísérletezz! A képet a görgő segítségével nagyíthatod, [math]ε[/math]-t pedig tovább csökkentheted a csúszkán.
4. feladat
Szemléletünk az mutatja, hogy az adott függvény esetében tetszőleges [math]ε[/math]-hoz találunk megfelelő [math]δ[/math]-t.[br]Hogyan bizonyíthatnánk az állítást?[br]
5. feladat
Mozdítsd el a [math]x_0[/math] pontot az [math]x[/math]-tengelyen![br]Vizsgáld a fenti tulajdonságot más pontokban is![br]Folytonosnak mondhatjuk-e az [math]f(x)=x^2[/math] hozzárendelési szabállyal megadott, valós számok halmazán értelmezett függvényt?
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]
Függvény folytonossága 2. (véges ugrás esetén)
Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:[br]Az [i]f[/i] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha tetszőleges [math]ε>0[/math]-hoz létezik olyan [math]δ>0[/math] melyre, ha [math]|x-x_0|<δ[/math], akkor [math]|f(x)-f(x_0)|<ε[/math].[br]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.[br][br]Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
1. feladat
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. feladat
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 0,5-re! [br]Határozd meg [math]x_0[/math] azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb [math]ε[/math]-nal térnek el [math]f(x_0)[/math]-tól![br]Állítsd be [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket!
3. feladat
Csökkentsd tovább [math]ε[/math] értékét![br]Igaz-e, hogy tetszőlegesen kicsi [math]ε>0[/math]-hoz találunk olyan [math]δ>0[/math] számot, melyre ha [i]x[/i] az [math]x_0[/math] –nak [math]δ[/math] sugarú környezetében van, akkor [math]f(x)[/math] az [math]f(x_0 )[/math]-nak [math]ε[/math] sugarú környezetébe esik?[br]Kísérletezz!
4. feladat
Mit mondhatunk az [i]f[/i] függvényről az [math]x_0=0,5[/math] pontban?
5. feladat
Állítsd be most [math]x_0[/math] értékét 1-re! Olvasd le a függvényértéket!
6. feladat
Legyen [math]ε=0,8[/math]![br]Határozd meg [math]x_0=1[/math]-nek azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb 0,8-del térnek el az 1,5-től!
7. feladat
Állítsd be [math]ε[/math] értékét 0,5-re vagy annál kisebb értékre! Mit tapasztalsz?[br]Mit mondhatunk az [math]f[/math] függvényről az [math]x_0=1[/math] helyen?[br]
8. feladat
Mit mondhatunk az egész függvényről?[br]
9. feladat
Válassz újabb [math]x_0[/math] értéket! Mit tapasztalsz?[br]
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]
Függvény folytonossága 3. (lukas egyenes)
Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_{0} [/math] pontjában, ha tetszőleges [math]ε > 0 [/math] -hoz létezik olyan [math]δ > 0[/math], melyre ha [math]|x-x_0|<δ[/math], akkor [math]|f (x) - f (x_{0})|< ε [/math].[br]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.[br]Adott az [math]f (x) = \frac{x^{2}- 4}{x - 2}[/math], [math]x[/math] ∈ [math]R\backslash\left\{2\right\}[/math] függvény.[br]Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
1. feladat
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. feladat
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 1-re! [br]Határozd meg [math]x_0[/math] azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb ε-nal térnek el [math]f(x_0)[/math]-tól![br]Állítsd be [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]δ[/math] értékeket!
3. feladat
Tudsz-e tetszőleges [math]ε[/math]-hoz [math]δ[/math]-t adni? [br]Folytonos-e ebben a pontban a függvény?[br][br]
4. feladat
Változtasd [math]x_0[/math] értékét! Mit tapasztalsz? [br]
5. feladat
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 2-re! Mit mondhatsz itt a függvényről?[br]
6. feladat
Folytonos-e az [math]f[/math] függvény ezek után?[br]
7. feladat
Milyen értéket kell rendelnünk az [math]x=[/math]2-höz, ha a függvény értelmezési tartományát ki akarjuk terjeszteni úgy, hogy továbbra is folytonos maradjon?
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)[/math]
Függvény folytonossága 4. (exponenciális függvény)
Egy függvény pontbeli folytonosságát a Cauchy-féle definícióval írtuk le:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_{0} [/math] pontjában, ha tetszőleges [math]ε > 0 [/math] -hoz létezik olyan [math]δ > 0 [/math] melyre, ha [math]|x-x_0|<δ[/math], akkor [math]|f (x) - f (x_{0})|< ε [/math].[br]Egy függvényt folytonosnak nevezünk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos.[br]Adott az [math]f(x)=x\cdot\frac{2^x}{x}[/math], [math]x[/math] ∈ [math]R\backslash\left\{0\right\}[/math] függvény.[br]Az interaktív alkalmazásban az adott függvény folytonosságát vizsgáljuk több különböző pontban.
1. feladat
Figyeld meg a függvény hozzárendelési szabályát, grafikonját!
2. feladat
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 1-re! [br]Határozd meg [math]x_0[/math] azon környezetét, melyben a függvényértékek legfeljebb [math]ε[/math]-nal térnek el [math]f(x_0)[/math]-tól![br]Állítsd be [math]ε[/math] értékét a panelen található csúszka segítségével 0,3; 0,1; 0,05 értékekre![br]Olvasd le a hozzájuk tartozó [math]\delta[/math] értékeket!
3. feladat
Tudsz-e tetszőleges [math]ε[/math]-hoz [math]\delta[/math]-t adni? [br]Folytonos-e ebben a pontban a függvény?
4. feladat
Változtasd [math]x_0[/math] értékét! Mit tapasztalsz? [br][br]
5. feladat
Állítsd be [math]x_0[/math] értékét 0-ra! Mit mondhatsz itt a függvényről?[br]
6. feladat
Folytonos-e az [math]f[/math] függvény ezek után?[br]
7. feladat
Milyen értéket kell rendelnünk az [math]x=0[/math]-hoz, ha a függvény értelmezési tartományát ki akarjuk terjeszteni úgy, hogy továbbra is folytonos maradjon?[br]
Kitekintés
A függvény folytonosságának megfogalmazására más definíciók is léteznek.[br]Heine-féle definíció:[br]Az [math]f[/math] függvényt folytonosnak nevezzük az értelmezési tartományának egy [math]x_0[/math] pontjában, ha bármely [math]\lim_{n\to\infty}x_n=x_0[/math] esetén [math]\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0).[/math]