Fußball - Der optimale Torschusswinkel
In diesem GeoGebra-Buch soll untersucht werden, welche Schusspositionen für einen Torabschluss besonders erfolgversprechend sind. Die Untersuchungen führen von elementaren trigonometrischen Berechnungen zu Extremwertaufgaben in einem spannenden Sachzusammenhang.
Table of Contents
- Einstieg
- AB Der optimale Torschusswinkel
- Vom Papier nach GeoGebra
- Der Torschusswinkel beim Freistoß und beim Elfmeter
- Fußball - Der Torschusswinkel beim Freistoß und beim Elfmeter
- Torschüsse aus beliebiger Position
- Fußball - Torschüsse aus beliebiger Position
- Diagonale Laufwege
- Diagonale Laufwege selbst gemacht (Optional)
- Fußball - Diagonale Laufwege
- Lösung mit CAS
- Die Lösung noch genauer ermitteln - für Profis!
- Übungen
- Tiki Taka
AB Der optimale Torschusswinkel
Torschusswinkel mit dem Geodreieck messen
Für diese Aktivität benötigen Sei das ausgedruckte Arbeitsblatt und ein Geodreieck.[br]
AB Spielfeld
Ermittle den Torschusswinkel. In welche Richtungen kann sich der Spieler bewegen, damit der Winkel größer wird?
Fußball - Der Torschusswinkel beim Freistoß und beim Elfmeter
In diesem Arbeitsblatt soll untersucht werden, welche Schusspositionen für einen Torabschluss besonders erfolgversprechend sind.
Fußballspieler beim Freistoß und beim Elfmeter
Elfmeter oder Freistoß
Ebenso wie ein Elfmeter wird ein Freistoß von der Strafraumkante als sehr gute Torchance angesehen.[br]Auch wenn es selbstverständlich ist, dass die Torchance beim Elfmeter größer ist als beim Freistoß, lohnt sich ein genauerer Blick:[br]Vergleiche den Winkel für einen erfolgreichen Torschuss bei einem Elfmeter mit dem bei einem Freistoß vom Strafraumeck. Recherchiere (z.B. beim [url=https://www.dfb.de/news/detail/real-trick-wie-gross-darf-ein-spielfeld-sein-143884/]DFB[/url] oder bei [url=https://de.wikipedia.org/wiki/Fu%C3%9Fballregeln#Spielfeld]Wikipedia[/url]) hierfür die Maße eines Fußballfeldes (insbesondere benötigst du die größe des Tores und des Strafraums).[br]
Vom Spielfeld in die Welt der Dreiecke
So sieht die Frage durch die mathematische Brille aus
Ein kleiner Hinweis sei erlaubt: Um die fehlenden Größen zu berechnen, benötigst du nicht nur den Satz des Pythagoras, sondern auch den [url=https://www.geogebra.org/m/nzruw9zd]Kosinussatz[/url]. Sieh' ihn dir noch einmal an, falls du ihn nicht sofort im Kopf hast.
Der Winkel beim Torschuss vom Strafraumeck beträgt:
Der Winkel beim Torschuss vom Elfmeterpunkt beträgt:
Fußball - Torschüsse aus beliebiger Position
Torschüsse aus beliebiger Position
Benutze nun das GeoGebra-Applet, um möglichst genaue Aussagen darüber zu treffen, welche Schusspositionen einen besonders guten Torschusswinkel bieten.
Wann ist der optimale Zeitpunkt für den Torschuss?
Wenn der Spieler parallel zur Seitenauslinie und 20 Meter von dieser entfernt "die Linie lang" läuft:[br]In welcher Position hat er den optimalen Schusswinkel?
So ist die Situation bei einem Abstand von 10 Metern von der Torauslinie. Aber es geht noch besser!
In der folgenden Tabelle kannst du den Winkel für verschiedene Abstände von der Torauslinie berechnen.
Beschreibe die Strategie, mit der Du den optimalen Schusswinkel gefunden hast.
Diagonale Laufwege selbst gemacht (Optional)
Bisher haben wir nur Laufwege betrachtet, die senkrecht auf die Torauslinie zulaufen. Im nächsten Schritt soll es um beliebige, gerade Laufwege gehen. Dazu musst Du Deine oben erstelle GeoGebra-Umgebung erweitern. Die folgenden Tipps helfen Dir dabei. [br][br]Du kannst entweder mit der nachfolgenden Vorlage arbeiten, oder Deine eigene Datei weiter anpassen.
Konstruktionsbeschreibung
[list=1][*]Der Laufweg wird durch eine [b]Strecke[/b] dargestellt.[/*][*]Um den [color=#ff0000]Spieler[color=#000000] an die Strecke zu binden, nutze [b]Punkt anhängen [img]data:image/png;base64,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[/img][/b]. Wähle zuerst den [color=#ff0000]Spieler[color=#000000]-Punkt und dann die Strecke aus. [/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000]Im Bewege-Modus [img]data:image/png;base64,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[/img] kannst Du den [color=#ff0000]Spieler[color=#000000] jetzt nur noch auf der Strecke bewegen.[/color][/color][/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000]Im letzten Schritt soll der Torschusswinkel für jeden Punkt auf dem Laufweg angezeigt werden. [/color][/color][/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000]Erstelle dazu einen neuen Punkt mit folgenden Koordinaten:[br][math]\left(x\left(Spieler\right),\frac{\alpha}{1°}\right)[/math][left][i][/i][size=85][i]Erklärung: [/i]Die [i]erste Koordinate[/i] entspricht der ersten Koordinate des Spielerpunktes (Näheres zum Befehl x(..) findet [url=https://wiki.geogebra.org/de/Vordefinierte_Funktionen_und_Operatoren]hier[/url]. Die [i]zweite Koordinate[/i] sorgt dafür, dass die Grad-Zahl des Torschusswinkels als y-Koordinate genutzt wird. [/size][/left][/color][/color][/color][/color][/color][/color][/*][*][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000][color=#ff0000][color=#000000]Schalte jetzt den Spurmodus des neu erstellen Punktes an und Bewege den Spieler entlang des Laufweges.[/color][/color][/color][/color][/color][/color][/*][/list][i][br]Zusatz: [/i]Statt dem [i]Spurmodus[/i] kannst Du auch den Befehl [i]Ortslinie[/i] benutzen. Recherchiere die Funktionsweise [url=https://wiki.geogebra.org/de/Ortslinie_(Befehl)]hier[/url].
Die Lösung noch genauer ermitteln - für Profis!
In diesem Arbeitsblatt soll untersucht werden, welche Schusspositionen für einen Torabschluss besonders erfolgversprechend sind.
Die Lösung noch genauer ermitteln - für Profis!
Alle, die jetzt immer noch nicht genug haben, können versuchen, die Lösung mit Hilfe der CAS-App noch genauer zu ermitteln. Hierfür betrachtet man die funktionale Abhängigkeit des Schusswinkels vom Abstand zur Torauslinie. Im Koordinatensystem oben ist die Lösung dargestellt.[br]Um jetzt eine sehr genaue Lösung zu finden, müsst ihr die Abhängigkeit von cos([math]\alpha[/math]) vom Abstand ausrechnen - das ist also wieder ein Fall für den Kosinussatz.[br]Viel Spaß beim Tüfteln!
Tiki Taka
Ballbesitzfußball
Oben siehst du drei Spieler, die ein Dreieck bilden, sowie einen vierten Spieler im Inneren des Dreieck. Im Sinne eines erfolgreichen Ballbesitzfußballs soll sich der 4. Spieler nun so positionieren, dass die Summe der Abstände zu den drei anderen Spielern minimal ist.[br][list=1][*]Bewege den Spieler im Inneren des Dreieck so, dass er die gewünschte Position einnimmt.[/*][*]Wähle ein geeignetes Koordinatenssystem und löse das Problem in der Tabellenkalkulation.[br][/*][/list]
Was spricht dafür, dass sich der Spieler im Inneren des Dreiecks dort positioniert, wo die Abstände zu den drei Mitspielern gleich groß sind (d.h. im Mittelpunkt des Umkreises), und was spricht dafür, dass sich der Spieler so positioniert, dass die Summe der Abstände zu den drei anderen Spielern minimal ist (wie in dieser Aktivität vorgeschlagen)?