Kegelschnitte
Índice
- Einführung und Überblick
- Kegelschnitte-Einführung und Überblick
- Kegelschnitte
- Die Grundgleichungen
- Die geometrischen Grundgleichungen
- Die Koordinatengleichungen in der Hauptlage
- Koordinatengleichungen der Kegelschnitte
- Die Ellipsengleichung in der Mittelpunktlage
- Mittelpunktsgleichung der Ellipse
Kegelschnitte-Einführung und Überblick
Einführung und Überblick
Worum geht's? Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln sind besondere Ortslinien in der Ebene. Die werden auch als Kegelschnitte bezeichnet. Warum das so ist, wird in diesem Kapitel erläutert.
Kegelschnitte in der Mathematik: Der Schnitt von einer Ebenen und einem Doppelkegel liefert Parabeln, Ellipsen und Hyperbeln
Die geometrischen Grundgleichungen
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Die Grundgleichungen der Kegelschnitte als geometrischer Ort in der Ebene
Die Veranschaulichung der Kegelschnitte im Raum liefert einen ersten Zugang zur mathematischen Beschreibung. In diesem Abschnitt lernst du die Grundgleichungen kennen. Die Gleichungen beschreiben den geometrischen Ort der Kegelschnitte. Sie sind rein geometrische Festlegungen. Die Darstellungen in Koordinaten erfolgt in einem zweiten Schritt.
Notiere die Grundgleichungen
Halte die Grundgleichungen (koordinatenfrei Definitionen) für Ellipse, Parabel und Hyperbel schriftlich fest. Halte für jede Definition eine Formulierung in Worten fest: was sind jeweils die Voraussetzungen? Was sind die variablen, was die konstanten Größen?
Koordinatengleichungen der Kegelschnitte
Überblick und Beschreibung
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Notiere dir die jeweiligen Koordinatengleichungen der Kegelschnitte in der Hauptlage. Welche Größen charakterisieren die Parabel, Ellipse und Hyperbel?
1. Frage zum Verständnis
Welcher Kegelschnitt besitzt eine Koordinatengleichung der Form y=ax² bzw. x=ay² ?
2. Frage zum Verständnis
Welcher Kegelschnitt hat die Koordinatengleichung von der Form [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math]?
3. Frage zum Verständnis
Welcher Kegelschnitt hat die Koordinatengleichung von der Form x² + y² =R² ?
4. Frage zum Verständnis
Welcher Kegelschnitt hat die Koordinatengleichung von der Form [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] ?
5. Frage zum Verständnis
Welche Bedeutung haben die Konstanten a,b in der Koordinatengleichung [math]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/math] ?
6. Frage zum Verständnis
Welche Bedeutung haben die Konstanten a,b in der Koordinatengleichung [math]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/math] ?
7. Verständnisfrage
Welcher Kegelschnitt hat die Tangentengleichung ny=px+pm im Punkt (n.m) der Ortslinie?
8. Verständnisfrage
Was bedeutet das p in der Parabelgleichung y² =2px ?
Aufgabe. Skizziere folgende Kegelschnitte in dein Heft. Nutze dazu geogebra. Gib möglichst charakteristische Größen dabei an
a) [math]x=2y^2[/math][br][br]b) x² + 0.25y² = 1[br][br]c) 0.25x² + y² =1[br][br]d) x² - 0.25y² = 1 [br][br]e) (1/9)x² + (1/16)y² = 1[br][br]f) (1/9)x² - (1/16)y² = 1[br]
Mittelpunktsgleichung der Ellipse
Mit den vier Schiebern kann man den Mittelpunkt M (x0 | y0) und die beiden Halbachsen einstellen.[br]Es wird die Ellipse gezeichnet und die Ellipsengleichung angegeben.[br][br]Experimentiere mit den Schiebern und versuche die Ellipsen-Gleichung zu bestimmen.