[code][/code][justify][code][/code][/justify][justify]Un número complejo se define de la forma [math]z=a+bi[/math]con [math]a,b\in\mathbb{R}[/math] e [math]i=\sqrt{-1}[/math]i. Geogebra permite la representación de complejos sin más que escribir en la barra de entrada[math]a+bi[/math], por ejemplo, [math]3+4i[/math] . [br][br]Las últimas versiones de GeoGebra ya reconocen directamente la expresión [math]3+4i[/math], no obstante, para introducir la unidad imaginaria pulsamos la combinación de teclas Alt+i (windows), ctrl+i (mac) o seleccionamos en la caja de símbolos que se encuentra a la derecha de la barra de entrada la unidad imaginaria.[icon]/images/ggb/toolbar/mode_point.png[/icon][br][br]También es posible trabajar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división con sus símbolos habituales +,-,· y / en la vista CAS.[/justify][br]También disponemos de las funciones elementales con números complejos: [br][br][table][tr][td][/td][td][b]Comando [/b][/td][td][b]Función[/b][/td][/tr][tr][td][b]Parte real (z)[/b][/td][td]x(z)[/td][td]real(z)[/td][/tr][tr][td][b]Parte imaginaria(z)[br][/b][/td][td]y(z)[/td][td]imaginaria(z)[/td][/tr][tr][td][b]Módulo(z)[br][/b][/td][td]Longitud[z][/td][td]abs(z)[/td][/tr][tr][td][b]Argumento(z)[br][/b][/td][td]Ángulo[z][/td][td]arg(z)[/td][/tr][tr][td][b]Conjugado[/b][/td][td]Refleja[z,EjeX][/td][td]conjugado(x)[/td][/tr][/table][justify][br]Y los comandos:[/justify][list][*][b]Acomplejo[] [/b] que transforma un vector o un punto en un número complejo expresado algebraicamente.[/*][/list][list][*][b]Apunto[][/b] que crea el punto que corresponde al número complejo dado, es decir, el afijo.[br] [/*][*][b]Apolar[] [/b]que tiene por resultado el par [i](módulo; argumento)[/i], es decir, la expresión trigonométrica del complejo dado. [/*][/list]

Demostración visual de que la suma de las raíces n-ésimas de la unidad (o sus potencias) es nula.

Una vez introducido nuestro número complejo podemos experimentar con sus potencias naturales, es decir, [math]z_1.\quad n\in\mathbb{N}[/math].[br][br][b]Guía de construcción[/b][br][br][list][*]Escribimos en la barra de entrada: 1 + i (aparecerá el nombre z[sub]1[/sub])[/*][*]Creamos un deslizador de tipo entero con los parámetros por defecto. Por defecto lo llama n.[/*][*]Usamos el comando secuencia para crear las potencias naturales de z[sub]1. [/sub]. Escribimos en la barra de entrada:[/*][/list][code][/code][i][center]potencias=Secuencia[z_1^k,k,1,n][/center][/i]

[justify]Con esta sencilla construcción, que ampliaremos a lo largo del artículo, ya podemos observar qué sucede con las potencias de exponente natural de un número complejo. [br][br]Si activamos la vista algebraica, veremos una lista con las potencias del número complejo.[br][br]En la vista gráfica veremos los puntos correspondientes y ahí es donde empieza nuestra investigación. Si movemos el punto z[sub]1 [/sub]observaremos como varían las potencias. [br][br]De forma casi automática tanto a profesores como a alumnos nos asalta la pregunta ¿qué patrón siguen las sucesivas potencias?[br][/justify]

[br][br]Rápidamente sacamos un conclusión, la “figura” que describen los puntos depende de al menos el módulo del número complejo.[br][br]En este punto vamos a unir con segmentos las potencias consecutivas, es decir, los segmentos, [math] \overline{z_1z_1^2}, \quad \overline{z_1^2z_1^3},\quad \overline{z_1^3z_1^4}, \cdots[br]\overline{z_1^{n-1}z_1^{n}} [/math] y también representaremos la circunferencia unidad en un intento de ver qué sucede[br][color=#0066cc][br]Guía de construcción[/color][br][br][list][*]En el fichero anterior, escribimos en la barra de entrada: [/*][*] Circunferencia[(0,0),1] [/*][*] linea= Poligonal[potencias] [/*][*]Añadimos una casilla de control para ocultar/mostrar la línea poligonal creada en la guía anterior.[br][/*][/list]Con estas herramientas podemos estudiar qué sucede distinguiendo tres casos. [br][br][math]\left|z_1\right|=1[/math][br][math]\left|z_1\right|<1[/math][br][math]\left|z_1\right|>1[/math]