Sie machen ein Bernoulli-Experiment. Die einzig möglichen Ergebnisse sind das Ereignis [math]\mathbf{E}[/math] oder das Gegenereignis [math]\mathbf{\overline{E}}[/math]. [br][list][*]Die Wahrscheinlichkeit [math]p(\mathbf{E})[/math], mit der das Ereignis erscheint, [b]ist bekannt[/b].[/*][*]Die Anzahl [math]n[/math], die angibt, wie oft das Experiment wiederholt wird, [b]ist bekannt[/b].[/*][/list]Wenn dieses Bernoulli-Experiment immer wieder, zum Beispiel von unterschiedlichen Personen, [math]n[/math]-mal durchgeführt wird, dann gelten die Sigmaregeln, die im Folgenden beschrieben werden.

Die Standardabweichung [math]\sigma[/math] ist für die Binomialverteilung einfach und schnell berechnet: [math]\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}[/math]. Wenn man sich die Gauß-Glocke ansieht, die zu einer Binomialverteilung mit einer Wahrscheinlichkeit [math]p[/math] und einer Versuchsanzahl [math]n[/math] gehört, dann ist die Standardabweichung die Entfernung von einem Wendepunkt der Glocke bis zum Erwartungswert [math]\mu=n\cdot p[/math]. Man könnte auch sagen: Die Breite der Gauß-Glocke beträgt auf halber Höhe etwa [math]2\cdot\sigma[/math].[br][br]Bei der Binomialverteilung bekommt die Standardabweichung über die Sigmaregeln eine schöne quantitativ fassbare Bedeutung.

Eine Sigma-Umgebung ist bei der graphischen Darstellung der Binomialverteilung mit einer Gauß-Glocke ein Bereich (ein Intervall) auf der k-Achse, also auf der Abszisse. Genau in der Mitte dieses Intervalls befinet sich der Erwartungswert [math]\mu[/math]. [br][list][*]Einfache Sigmaumgebung: [math][\mu-\sigma;\mu+\sigma][/math][/*][*]Zweifache Sigmaumgebung: [math][\mu-2\cdot \sigma;\mu+2\cdot \sigma][/math][/*][*]...[/*][*]c-fache Sigmaumgebung: [math][\mu-c\cdot \sigma;\mu+c\cdot \sigma][/math][/*][/list][br]Dabei kann [math]c[/math] irgend eine Zahl sein, auch eine beliebige Dezimalzahl, wie [math]2,96[/math] oder so.[br](Beispiele, siehe unten)

Wenn ein Bernoulli-Experiment durchgeführt wird, dann kann man mit einer bestimmten Sicherheit sagen, [b][i]in welchem Bereich[/i][/b] die Anzahl [math]k[/math] der günstigen Ereignisse liegen wird. Folgendes lässt sich vorhersagen:[br][list][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{68,3\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]einfachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-\sigma;\mu+\sigma][/math][/*][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{95,5\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]zweifachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-2\cdot \sigma;\mu+2\cdot \sigma][/math][/*][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{99,7\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]dreifachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-3\cdot \sigma;\mu+3\cdot \sigma][/math][/*][/list][br]oder[br][list][br][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{90\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]1,64-fachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-1,64\cdot \sigma;\mu+1,64\cdot \sigma][/math][/*][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{95\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]1,96-fachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-1,96\cdot \sigma;\mu+1,96\cdot \sigma][/math][/*][*]Mit einer [color=#980000]Sicherheitswahrscheinlichkeit[/color] von [math]\fgcolor{#980000}{\mathbf{99\%}}[/math] liegt das [math]k[/math] in der [b]2,58-fachen[/b] Sigma-Umgebung [math][\mu-2,58\cdot \sigma;\mu+2,58\cdot \sigma][/math][/*][/list]

Die Sigmaregeln sind aber nicht immer ganz genau. Insbesondere für kleine [math]n[/math] oder sehr kleine oder sehr große [math]p[/math] können die berechneten Wahrscheinlichkeiten stark von den Sigmaregeln abweichen. [br][br][color=#980000][b]Wann dürfen diese Regeln denn guten Gewissens angewendet werden?[/b][/color][br][br][b]Immer dann, wenn die Laplace Bedingung erfüllt ist[/b], wenn:[br][br][math]\text{\Large{\[\boxed{\mathbf{\sigma}=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\quad\mathbf{>3}}\]}}[/math][br][br]Mit dem folgenden Geogebra-Arbeitsblatt kann man sich auch jede [br]beliebige andere Sigmaregel einstellen: Der Funktionsgraf, der dort die [br]Glockenkurve darstellt, ist die sogenannte Standard-Normalverteilung. [br]Diese hat die gleiche Form, wie die Glocke der Binomialverteilung.[br][br]Im folgenden Arbeitsblatt kann die oben beschriebene Ungenauigkeit erforscht werden: