Il prodotto di due numeri complessi in forma algebrica si esegue come il consueto prodotto di binomi considerando che[b] [math]\large i^2=-1[/math][/b].[br]In generale:[br][math]\Large[br]\begin{matrix}z_1=a+ib\\[br]z_2=c+id\end{matrix}\longrightarrow\ z_1\cdot z_2=ac+i\ ad+i\ bc+i^2\ bd=ac-bd+i\left(ad+bc\right)[br][/math]

Il prodotto di due numeri complessi in forma cartesiana è immediata conseguenza del caso precedente, ovvero:[br][math]\Large[br]\begin{matrix}z_1=\left(a,b\right)\\[br]z_2=\left(c,d\right)\end{matrix}\longrightarrow\ z_1\cdot z_2=\left(ac-bd,\ ad+bc\right)[br][/math]

Il prodotto di due numeri complessi in forma polare è un numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti, ovvero:[br][math]\Large[br]\begin{matrix}z_1=\left(\left|z_1\right|;\theta_1\right)\\[br]z_2=\left(\left|z_2\right|;\theta_2\right)\end{matrix}\longrightarrow\ z_1\cdot z_2=\left(\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right|;\ \theta_1+\theta_2\right)[br][/math]

Il prodotto di due numeri complessi in forma goniometrica è conseguenza del prodotto nella forma polare, ovvero:[br][math]\Large[br]\begin{matrix}z_1=\left|z_1\right|\cdot\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\\[br]z_2=\left|z_2\right|\cdot\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)\end{matrix}\longrightarrow\ z_1\cdot z_2=\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right|\cdot\left(\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)\right)[br][/math]

[list][*]Con i triangoli blu e verde puoi variare il modulo del numero complesso[/*][*]Puoi ruotare i vettori per cambiare l'argomento del numero complesso[/*][/list]Esegui le seguenti attività[br][list][*]Dopo aver fissato i numeri complessi [math]\large z_1[/math] e [math]\large z_2[/math] prova a modificarne uno in modo che il risultato del prodotto sia solo parte reale o solo parte immaginaria.[/*][*]Fissa un vettore con modulo 1 e osserva l'effetto del vettore prodotto rispetto al secondo vettore.[/*][/list]

Il prodotto di due numeri complessi in forma esponenziale è la seguente:[br][math]\Large[br]\begin{matrix}z_1=\left|z_1\right|\cdot e^{i\theta_1}\\[br]z_2=\left|z_2\right|\cdot e^{i\theta_2}\end{matrix}\longrightarrow\ z_1\cdot z_2=\left|z_1\right|\cdot\left|z_2\right|\cdot e^{i\left(\theta_1+\theta_2\right)}[br][/math][br]che spiega i casi con rappresentazione polare e goniometrica.