Darstellung von Geraden in der Vektorgeometrie

Geraden bisher

Bereits in der Mitelstufe spiete die Untersuchunf von Geraden eine wichtige Rolle. Die bisherige Betrachtung von Geraden erfolgte jedoch ausschließlich unter dem Aspekt des Funktionalzuasmmenhangs und mit Beschränkung auf 2 Dimensionen.[br][br]Es gab eine unabhängige Variable x, ein abhängige y mit y=f(x) und es wurden nur Geraden in 2 Dimensionen betrachtet.[br][br]Nun erfolgt der Übergang in die dritte Dimension und die Einschränkungen des Funktionalzusammenhang (nur bein Funktionswert zu jedem x werden abgelegt. Im Gegensatz zur bisherigen Betrachtung gibt es auch keine besonders ausgezeichneten Achsen mehr (x-Achse freie Variable, y Achse abhängige Variable).

Darstellung im Raum

Betrachten Sie die Punkte im Applet unten. Können Sie, ohne etwas am Applet zu verändern, eine Aussage darüber machen wie die Punkte relativ zueinander liegen?

Relative Lage der Punkte

Drehen Sie das Achsenkreuz im Applet. Sie können dann die Lage der Punkte genauer analysieren. Was stellen Sie fest?

Verbindungsvektoren

Berechnen Sie nun die Verbidungsvektoren der Punkte. [br]a) Was fällt an den so berechneten Vektoren auf?[br]b) Welche Eigenschaft haben die Vektoren relativ zueinander?

Der allgemeine Verbindungsvektor

Blenden Sie nun den allgemeinen Verbindungsvektor ein und variieren Sie den Skalar r mit dem Schieberegler. Welche Aussage können Sie über alle Endpunkte des so erzeugten Vektors machen?

Lage der Geraden im Raum

Ist die Gerade durch den Verbindungsvektor eindeutig festgelegt? Was fehlt noch um die Lage der Geraden im Raum eindeutig zu beschreiben?

Parameterdarstellung einer Geraden

Damit ist unsere Gerade eindeutig festgelegt. Sie ist definiert durch den Stützvektor [math]\vec{p}[/math], der die konkrete Lage im Raum festlegt (die Gerade "stützt" damit sie nicht "runterfällt") und den Richtungsvektor [math]\vec{q}[/math].[br][br]Die Menge aller Punkte [math]\vec{x}[/math] auf der Geraden g ist damit durch die Parametergleichung gegeben:[br][br][center][img]data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAO8AAAAdCAYAAABCKjurAAAFE0lEQVR4nO1cW7XjIBTFAhqwgAckoAELcVAHcRAFUYABDMQBHvZ83HUoJZB3mqTDXivrdtq56XltzgNyGSoqKh4JdrUAFRUV21DJW1HxUFxKXu89lFJwzl0pxiSeIOMZ+F/1fhIuz7zOOUgp0ff91aIU8QQZz8D/qvdTcDp5GWOLryuwRr6rZDwDT9HbWgvGGF6v12UyHA2lFBhj4JxDKQUhxIetpZSQUkJrja7rive5PBqfsLo/QcYzcAe9f5G83ntoraGUAgC8Xq/wehgGaK3hnEPXdeCcwxiTvU/teWewV0alVHDMk3B33xCprbVf/d62bUPmzF1L5YkJG78G/ggshADw1jPnh8sz76/jqeS9O9q2/Sp5vfeQUkIIcUglMkVeAB+6CSHQtu3oHpW8J6OS9xxQ9vsWeZumKWbALVhDXqVUdsHIktc5B611sTSIvzT+dwlxmWGMgfceAND3fWjcr+qr+r4PAwOlFLz3MMaAcx6GB3sctoe8ZF9ypLUWUsrDh0jOuQ+dqc8yxmySPZXbORdiQAgRhjDx+5zzUV/b932QKf4stkEuLnOIYxD4y9yx36fgvQdjDFrr1bYoYa5sZoxhGAZ478E5D5yJMYqAYRjAOYeUEsMwAHiXKFSHxwIsUR54Gy92Agm5hBxU+58xJaV70xCh6zpYa4N+nPNgi7XYm3mNMWHRM8bAWhuCroTYVnOZyTk38vcwDIEgW2WP5dZaw1obBjCMMfR9HzJKTNJU3q7rsgMr8s2azEt2M8agbduQPOZ0JHvmStetKJF3GAYopcJC0TRNkR+jCKDyIM2E5MzYWGvISytITAQp5eQo/Fsg53DOR4aiIGyaZtO995KXbByv+hTQJawhLwV0ujgtDew1cgNve0opP7IJ/f+UpKVp8xbyUgKJSbikujijv07JS/6iCoSSRy7jEkYRUOoljugxyBFKKTRNUxyBfxuxXCmWBvHUBLJ0Ldn+2BKkS8nrnCvqNmWTJSjJvZakZ5B3LWJyzV17ps20TUQxN5c0ipk3zYik+NbyMRY6V4JfialA3RvER2XeMwYzZ+r9S+T9RuaNX1N7VGolCCNNaDXO9bxHNOxU8u3JJmf1vJW8yz5bgl8i7zd7XmovnXOTlRFQmDbHkzjKkkeccHHOQQgRfu4ZBB2JSt7nknfNLsVW8tK0+cg2b2ranOuHc/7PZl4hxGSjHH/J2oEVCUFOkVLO/u7ZmJKF2oitq+6dyUtBmWuHaKvw7uSN35+L2a3kBb67z0u7MNZaeO8hhMjG5kgTY8zh5KXTKWnzTQa5enAVl+Rt2wbdqcTfs8ActVV01lSefEBnmK210FqH7927VZTKXSIv2TqNhdL7VFLSGQHar59CabK+BOkJqyX8mLpXerY5XejiKTjFZ2qDLHlL/WN6NGwJeemcJv0+GS7er9wTJEeAjCOE+DicQu3CHkftIS/NGihIj+y5YjRN83EohQ6EbPVLuvVBMRPv58b6xO/HxI6HNqXsS5/PncNO/bqlkvHe4/V6FQ+JLK2QpnYmCJR90yu2wYi8VN5ODYHu0Kceib393S+i2uT+yO7zphvowDvVn9V/XYkaqGNUm9wfH+Sde3aSyqG7Pia2FTVQx6g2uT8+yEt1dvoAtvd+9sHgJ4N6yztMvu8COuWzdHhZ8X2MymaaNqZ/moMO7P8a0sMflcDjAVLNvvdEfZ63ouKhqOStqHgoKnkrKh6KSt6KiofiH9dmLSpDej9yAAAAAElFTkSuQmCC[/img][/center]

Eindeutigkeit der Darstellung

Gehen Sie noch einmal zurück zu Applet. Ist die jetzt angezeigte Parameterdarstellung mit genau diesem Stütz- und diesem Richtungsvektor die einzig mögliche?