Das Lösen lineare Gleichungssysteme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen ist eine Grundverfahren, welches in zahlreichen Kontexten angewendet wird. [br]Dazu gehört [br][list][*]die Berechnung des Schnittpunktes zweier Geraden ebenso wie [/*][*]die Ermittlung der Gleichung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte oder [/*][*]die Rekonstruktion von Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften in einem Ansatz mit Parametern[br][/*][/list][b]Beispiel[br][/b] [math]\begin{matrix}I\\II\end{matrix}\begin{matrix}2x+5y=7\\3x+4y=7\end{matrix}[/math][br][br]allgemeine und normierte Form[br][br][math]\begin{matrix}I\\II\end{matrix}\ \begin{matrix}\begin{matrix}a_1\cdot x+b_1\cdot y=c_1\end{matrix}\\a_2\cdot x+b_2\cdot y=c_2\end{matrix}[/math][br]

Für die Lösung sind das Gleichsetzen- oder auch das Einsatzverfahren geeignet.[br]Besonders schnell ist dabei das [i][u]Additionsverfahren[/u][/i]:[list=1][*]Eine oder beide Gleichungen werden mit geeigneten Zahlen multipliziert, so dass sich bei Addition der Gleichungen eine Variable reduziert. Geeignete Faktoren ergeben sich aus dem [i]kleinsten gemeinsamen Vielfachen[/i] (kgV) der Vorfaktoren einer der Variablen. [/*][*]Der für die andere Variable gefundene Wert wird rückeingesetzt und die erste Variable berechnet.[/*][/list][b]Lösung zum Beispiel:[/b] [br][math]\begin{matrix}I\\II\end{matrix}\begin{matrix}2x+5y=7\\3x+4y=7\end{matrix}[/math][br][i][br][u]Ziel[/u]: Variable x eliminieren; [br][br]das kgV(2,3)=6 liefert die geeigneten Faktoren 3 und -2 für die beiden Gleichungen:[br][br][/i][math]3\cdot I-2\cdot II:\ 0\cdot x+7\cdot y=7,\ also\ y=1[/math][i][br][br]Die Rückeinsetzung [math]y=1\longrightarrow I[/math] liefert[br][br][/i][math]2x+5=7[/math][i] , also [/i][math]x=1[/math][i] .[br][br]Die Lösungsmenge besteht aus dem Zahlenpaar x=1 und y=1 : [/i][math]L=\left\{\left(1;1\right)\right\}[/math].[br][br][b]Sonderfälle[/b][br]Es gibt zwei Sonderfälle, die bei der Addition der vervielfachten Gleichungen entstehen können:[br][list=1][*]die Ergebnisgleichung ist widersprüchlich, z.B. [math]0=1[/math][/*][*]die Ergebnisgleichung ist allgemeingültig, z.B. [math]0=0[/math][/*][/list][br]Im ersten Fall ist das Gleichungssystem nicht lösbar, die Lösungsmenge leer.[br][br][math]L=\left\{\right\}[/math][br][br]im zweiten Fall besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungspaare, die Gleichungen sind äquivalent. Jedes Paar[math](x;y)[/math], das eine Gleichung erfüllt, erfüllt auch die andere.[br][br] [math]L=\left\{\left(x;y\right)mit\ a_1x+b_1y=c_1\right\}[/math]

Gehen Sie das Blatt sorgfältig durch und rechnen Sie im Heft nach.[br]Verändern Sie die Parameter im Gleichungssystem und rechnen Sie erneut im Heft. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Resultat von Geogebra. [br]Tipp: beginnen Sie zunächst mit natürlichen Zahlen.